Lineáris leképezések

42. feladat (χ)

A = matrix(QQ, [[1,1],[-1,1],[0,0]])
pretty_print("Im χ genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker χ egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

42. feladat (ω)

A = matrix(QQ, [[1,0,1,-1],[-1,1,0,0],[0,-1,-1,1]])
pretty_print("Im ω genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker ω egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

44. feladat (ζ)

A = matrix(GF(3), [[1,1,2,1],[2,1,0,2]])
pretty_print("Im ζ genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker ζ egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

44. feladat (η)

A = matrix(GF(3), [[1,1,0],[1,2,2],[2,1,1],[1,0,1]])
pretty_print("Im η genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker η egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

44. feladat (ϑ)

A = matrix(GF(5), [[3,1,2],[0,4,2],[0,1,3]])
pretty_print("Im 𝜗 genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker 𝜗 egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

45. feladat (σ)

A = matrix([[1,2-i],[2,1],[3*i,1+3*i]])
pretty_print("Im σ genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker σ egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

45. feladat (τ)

A = matrix([[1,1,0],[1,2,2],[2,1,1],[1,0,1]])
pretty_print("Im τ genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker τ egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

45. feladat (υ)

A = matrix(QQ, [[1,1,-5],[0,4,-8],[0,1,-2]])
pretty_print("Im υ genrsz:",A,"→" ,A.rref())
pretty_print(" ")
pretty_print("Ker υ egyrsz:",A.transpose(),"→" ,A.transpose().rref())

50. feladat

Egy ℰ bázisban megadott vektor koordinátáinak kiszámítása az ℱ bázisban:

egyrsz = matrix(QQ, [[1,-2,-1],[2,1,8]])
egyrsz.subdivide(None,[2])
pretty_print(egyrsz,"→" ,egyrsz.rref())

Rajz:

f1 = arrow2d((0,0), (1,2), 4, color='blue')
f2 = arrow2d((0,0), (-2,1), 4, color='green')
v = arrow2d((0,0), (-1,8), 4, color='red')
w = arrow2d((0,0), (7,4), 4, color='orange')
f12 = arrow2d((0,0), (2,4), 4, color='blue')
f13 = arrow2d((0,0), (3,6), 4, color='blue')
f21 = arrow2d((3,6), (1,7), 4, color='green')
f22 = arrow2d((3,6), (-1,8), 4, color='green')
f2m1 = arrow2d((3,6), (5,5), 4, color='green')
f2m2 = arrow2d((3,6), (7,4), 4, color='green')
var('x,y')
t=implicit_plot(y==2*x, (x,-1,9), (y,-1,9), color='lightblue')
t+f1+f2+v+w
#t+f13+f12+f1+f22+f21+f2+v+w
#t+f13+f12+f1+f22+f21+f2m1+f2m2+f2+v+w

A leképezés mátrixa a bázisáttérés formulájával:

FE = matrix(QQ, [[1,2],[-2,1]])
B = matrix(QQ, [[1,0],[0,-1]])
pretty_print("[F→E]:",FE)
pretty_print(" ")
pretty_print("[E→F]:",FE^(-1))
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_F:",B)
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_E:",FE^(-1)*B*FE)

51. feladat

Egy ℰ bázisban megadott vektor koordinátáinak kiszámítása az ℱ bázisban:

egyrsz = matrix(QQ, [[1,-2,-1],[2,1,8]])
egyrsz.subdivide(None,[2])
pretty_print(egyrsz,"→" ,egyrsz.rref())

Rajz:

f1 = arrow2d((0,0), (1,2), 4, color='blue')
f2 = arrow2d((0,0), (-2,1), 4, color='green')
v = arrow2d((0,0), (-1,8), 4, color='red')
w = arrow2d((0,0), (3,6), 4, color='orange')
f12 = arrow2d((0,0), (2,4), 4, color='blue')
f13 = arrow2d((0,0), (3,6), 4, color='blue')
f21 = arrow2d((3,6), (1,7), 4, color='green')
f22 = arrow2d((3,6), (-1,8), 4, color='green')
var('x,y')
t=implicit_plot(y==2*x, (x,-1,9), (y,-1,9), color='lightblue')
t+v+w+f1+f2
#t+v+w+f13+f12+f1+f22+f21+f2

A leképezés mátrixa a bázisáttérés formulájával:

FE = matrix(QQ, [[1,2],[-2,1]])
B = matrix(QQ, [[1,0],[0,0]])
pretty_print("[F→E]:",FE)
pretty_print(" ")
pretty_print("[E→F]:",FE^(-1))
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_F:",B)
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_E:",FE^(-1)*B*FE)

52. feladat

Egy ℰ bázisban megadott vektor koordinátáinak kiszámítása az ℱ bázisban:

egyrsz = matrix(QQ, [[1,1,0,1],[2,1,1,2],[-1,1,-1,0]])
egyrsz.subdivide(None,[3])
pretty_print(egyrsz,"→" ,egyrsz.rref())

A leképezés mátrixa a bázisáttérés formulájával:

FE = matrix(QQ, [[1,2,-1],[1,1,1],[0,1,-1]])
A = matrix(QQ, [[2,1,3],[-1,0,-2],[0,1,-1]])
pretty_print("[F→E]:",FE)
pretty_print(" ")
pretty_print("[E→F]:",FE^(-1))
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_E:",A)
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_F:",FE*A*FE^(-1))

53. feladat

Egy ℰ bázisban megadott vektor koordinátáinak kiszámítása az ℱ bázisban:

egyrsz = matrix(QQ, [[1,-2,1,1],[1,3,-1,0],[-1,1,0,0]])
egyrsz.subdivide(None,[3])
pretty_print(egyrsz,"→" ,egyrsz.rref())

A leképezés mátrixa a bázisáttérés formulájával:

FE = matrix(QQ, [[1,1,-1],[-2,3,1],[1,-1,0]])
B = matrix(QQ, [[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,-1]])
pretty_print("[F→E]:",FE)
pretty_print(" ")
pretty_print("[E→F]:",FE^(-1))
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_F:",B)
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_E:",FE^(-1)*B*FE)

59. feladat

Határozzuk meg a $P$ átmenetmátrix karakterisztikus polinomját és sajátértékeit:

A = matrix(QQ, [[1,-1], [1,1]])
E = matrix(QQ, [[1,0], [0,1]])
karpol = (A-x*E).det().expand()
pretty_print(karpol); pretty_print(" ")
gyokok = karpol.roots()
pretty_print(gyokok); pretty_print(" ")
lambda_1 = gyokok[1][0]
pretty_print(LatexExpr("\\lambda_1="),lambda_1); pretty_print(" ")
lambda_2 = gyokok[0][0]
pretty_print(LatexExpr("\\lambda_2="),lambda_2)
pretty_print(LatexExpr("(A-\\lambda_1 E)^T ="),(A-lambda_1*E).transpose(),LatexExpr("\\rightsquigarrow"),(A-lambda_1*E).transpose().rref())
pretty_print(LatexExpr("(A-\\lambda_2 E)^T ="),(A-lambda_2*E).transpose(),LatexExpr("\\rightsquigarrow"),(A-lambda_2*E).transpose().rref())
Q = matrix(CC, [[-i,1], [i,1]])
D = Q*A*Q^(-1)
pretty_print(LatexExpr("Q="),n(Q,1),LatexExpr("\\quad Q^{-1}="),n(Q^(-1),1)); pretty_print(" ")
pretty_print(LatexExpr("D=QPQ^{-1}="),n(D,1))

A leképezés mátrixa a bázisáttérés formulájával:

FE = matrix(QQ, [[1,1,-1],[-2,3,1],[1,-1,0]])
B = matrix(QQ, [[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,-1]])
pretty_print("[F→E]:",FE)
pretty_print(" ")
pretty_print("[E→F]:",FE^(-1))
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_F:",B)
pretty_print(" ")
pretty_print("[φ]_E:",FE^(-1)*B*FE)