Absztrakt algebra: algebrai struktúrák

Ugrás feladathoz: 1 2 3 4

Ez a feladatsor kicsit másképp működik, mint a korábbiak. Minden feladat végén van egy „Ellenőrzés” gomb, amit megnyomva meglátod, hogy abban a feladatban hány kérdésre válaszoltál jól. Akárhányszor lehet próbálkozni, tehát akár kizárásos alapon is ki lehet találni a helyes válaszokat, de persze sokkal jobb, ha gondolkozol (vagy legalább utólag értsd meg, hogy miért az a helyes válasz, ami). Ha minden feladattal végeztél, akkor nyomd meg alul a „Végső ellenőrzés” gombot. Ha valóban jól oldottad meg mind a 4 feladatot, akkor be tudod írni a szupertitkos azonosítódat. Ha sikerült jól beírni, akkor megjelenik a szokásos komment-szövegdoboz. Akár írsz megjegyzést, akár nem, mindenképp nyomd meg a „Válaszok beküldése” gombot, mert csak így tudod bezsebelni a 2 pontot!

A feladatsor megoldásával párhuzamosan nézd ezt a videót; a megfelelő helyeken állítsd meg a videót, oldd meg a következő feladatot, aztán folytasd a videót.

1. feladat.

1. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{N};+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
2. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
3. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
4. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}\setminus \{ 0 \};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
5. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}_5;+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
6. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}_5;\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
7. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}_5\setminus \big\{\, \overline{0} \,\big\};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
8. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}_5\setminus \big\{\, \overline{0} \,\big\};+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
9. Milyen algebrai struktúra $(M_2;+)$? (Itt $M_2$ a $2 \times 2$-es valós mátrixok halmaza.)
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
10. Milyen algebrai struktúra $(M_2;\cdot)$? (Itt $M_2$ a $2 \times 2$-es valós mátrixok halmaza.)
    grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
11. Milyen algebrai struktúra $(M_2\setminus \{ \mathbf{0}\};\cdot)$? (Itt $M_2$ a $2 \times 2$-es valós mátrixok halmaza.)
    grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
12. Milyen algebrai struktúra $(\{ A \in M_2 \mid \operatorname{det}(A)\neq 0 \};\cdot)$? (Itt $M_2$ a $2 \times 2$-es valós mátrixok halmaza.)
    grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  

2. feladat.

1. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q}\setminus\{0\};+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
2. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q}\setminus\{0\};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
3. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q}^+;+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
4. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q}^+;\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
5. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}^-;+)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
6. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z}_6\setminus\big\{\,\overline{0}\,\big\};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
7. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{N};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  

3. feladat.

1. Milyen algebrai struktúra $(\{u,v,w\};\diamond)$? $$ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array} [c]{c|ccc} \diamond & u & v & w\\\hline u & v & w & u\\ v & w & u & v\\ w & u & v & w \end{array} $$
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
2. Milyen algebrai struktúra $(\{ a,b,c,d \};\circ)$? $$ \begin{array} [c]{c|cccc}% \circ & a & b & c & d\\\hline a & c & a & b & b\\ b & a & b & c & d\\ c & b & c & b & a\\ d & b & d & c & a \end{array} $$
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
3. Milyen algebrai struktúra $(\{ a,b,c,d \};\ast)$? $$ \begin{array} [c]{c|cccc}% \ast & a & b & c & d\\\hline a & a & b & c & d\\ b & b & a & c & d\\ c & c & c & c & c\\ d & d & d & c & c \end{array} $$
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
4. Milyen algebrai struktúra $(\mathcal{P}\left( \{u,v\}\right);\cup)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
5. Milyen algebrai struktúra $(\{\mathtt{igaz},\mathtt{hamis}\};\rightarrow)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
6. Milyen algebrai struktúra $(\{1,-1,i,-i\};\cdot)$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  

4. feladat.

1. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};\diamond)$, ahol $a\diamond b = a-b$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
2. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};\bullet)$, ahol $a\bullet b=a+b+23$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
3. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};\otimes)$, ahol $a\otimes b=b+2$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
4. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Z};\oplus)$, ahol $a\oplus b=a$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
5. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q};\star)$, ahol $a\star b=12-3a-3b+a\cdot b$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport  
6. Milyen algebrai struktúra $(\mathbb{Q}\setminus\{3\};\star)$, ahol $a\star b=12-3a-3b+a\cdot b$?
   grupoid        félcsoport        monoid        csoport        Abel-csoport