84. feladat

Tekintsük az alábbi $A \in \mathbb{R}^{9 \times 9}$ mátrixot.

1. Határozzuk meg $A$ sajátértékeit és a sajátértékek algebrai multiplicitásait.
2. Adjunk meg bázist mindegyik sajátaltérben.
3. Ellenőrizzük „kézzel”, közvetlenül a definíció alapján, hogy valóban sajátvektorokat kaptunk a megfelelő sajátértékekkel.
4. Diagonalizálható-e az $A$ mátrix? Ha nem, miért nem? Ha igen, akkor adjunk meg egy olyan $Q$ mátrixot, melyre $D:=QAQ^{-1}$ diagonális mátrix, és ellenőrizzük, hogy valóban diagonális mátrixot kapunk.
5. Határozzuk meg $A$ minimálpolinomját, és ellenőrizzük a Cayley–Hamilton-tételt.
6. Figyeljük meg, hogy milyen az $A$ mátrix szerkezete, és hogy ez hogyan függ össze a sajátértékekkel és azok algebrai, illetve geometriai multiplicitásaival. Ezen megfigyelés segítségével konstruáljunk olyan mátrixot, melynek egyetlen sajátértéke $\lambda=5$, és ennek algebrai multiplicitása $7$, geometriai multiplicitása pedig $3$.

A = matrix(QQ, [[2,1,0,0,0,0,0,0,0],[0,2,1,0,0,0,0,0,0],[0,0,2,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,2,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,2,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,2,1,0,0],[0,0,0,0,0,0,2,0,0],[0,0,0,0,0,0,0,2,1],[0,0,0,0,0,0,0,0,2]])
pretty_print(A)

E = A^0