83. feladat

Tekintsük a $\varphi\colon \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^4,\ (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (x_4,x_1,x_2,x_3)$ lineáris transzformációt.

1. Írjuk fel az $A:=[\varphi]_{\mathcal{E}}$ mátrixot ($\mathcal{E}$ a standard bázis)
2. Határozzuk meg $A$ sajátértékeit és a sajátértékek algebrai multiplicitásait.
3. Adjunk meg bázist mindegyik sajátaltérben.
4. Ellenőrizzük „kézzel”, közvetlenül a definíció alapján, hogy valóban sajátvektorokat kaptunk a megfelelő sajátértékekkel.
5. Diagonalizálható-e az $A$ mátrix? Ha nem, miért nem? Ha igen, akkor adjunk meg egy olyan $Q$ mátrixot, melyre $D:=QAQ^{-1}$ diagonális mátrix, és ellenőrizzük, hogy valóban diagonális mátrixot kapunk.
6. Határozzuk meg $A$ minimálpolinomját, és ellenőrizzük a Cayley–Hamilton-tételt.
7. Általánosítsuk a feladatot $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ lineáris transzformációra (mi legyen a hozzárendelési szabály?). Sejtsük meg a válaszokat (ha szükséges, kísérletezzünk számítógéppel különböző $n$-ekre), majd igazoljuk is sejtéseink helyességét.

A = matrix(QQ, [[,,,],[,,,],[,,,],[,,,]])
pretty_print(A)

E = A^0