Legyen $A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$ a csupa $1$-esekből álló mátrix.
Határozzuk meg $A$ sajátértékeit és a sajátértékek algebrai multiplicitásait.
Adjunk meg bázist mindegyik sajátaltérben.
Ellenőrizzük „kézzel”, közvetlenül a definíció alapján, hogy valóban sajátvektorokat kaptunk a megfelelő sajátértékekkel.
Diagonalizálható-e az $A$ mátrix? Ha nem, miért nem? Ha igen, akkor adjunk meg egy olyan $Q$ mátrixot, melyre $D:=QAQ^{-1}$ diagonális mátrix, és ellenőrizzük, hogy valóban diagonális mátrixot kapunk.
Határozzuk meg $A$ minimálpolinomját, és ellenőrizzük a Cayley–Hamilton-tételt.
Általánosítsuk a fentieket az $n \times n$-es, csupa $1$-esekből álló mátrixra. Sejtsük meg a válaszokat (ha szükséges, kísérletezzünk számítógéppel különböző $n$-ekre), majd igazoljuk is sejtéseink helyességét.
A = matrix(QQ, [[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1],[1,1,1,1,1]])
pretty_print(A)