Tekintsük az alábbi mátrixszal megadott Markov-láncot.
A = matrix(QQ, [[0.7,0.3,0,0,0],[0.6,0.4,0,0,0],[0,0,0.2,0.4,0.4],[0,0,0.4,0.2,0.4],[0,0,0.3,0.3,0.4]])
pretty_print(A)
Határozzuk meg $A$ sajátértékeit és a sajátértékek algebrai multiplicitásait.
Adjunk meg bázist mindegyik sajátaltérben.
A $\lambda=1$ sajátértékhez tartozó sajátaltérben olyan bázisvektorokat adjunk meg, melyekben csak nemnegatív számok szerepelnek, melyek összege $1$. (A (b) részben talált sajátvektorokból egy alkalmas skalárral való szorzással kaphatunk ilyeneket.) Az ilyen sajátvektorok adják a Markov-lánc stacionárius eloszlásait.
Adjunk meg egy olyan $Q$ mátrixot, melyre $D:=QAQ^{-1}$ diagonális mátrix. Ellenőrizzük, hogy valóban diagonális mátrixot kapunk.
A $D:=QAQ^{-1}$ összefüggésből következik, hogy $A=Q^{-1}DQ$ és így $A^k=Q^{-1}D^kQ$ minden $k$ pozitív egész kitevőre. Ennek segítségével határozzuk meg a $\lim_{k \to \infty}A^k$ határértéket. Ellenőrizzük, hogy pl. $A^{10}$ közel van-e a kiszámított határértékhez.
Milyen kapcsolat van a $\lim_{k \to \infty}A^k$ határérték és a (c) részben talált stacionárius eloszlások között? Mit jelent ez az $A$ mátrix által leírt véletlen bolyongás szempontjából? A http://markov.yoriz.co.uk/ weboldalon kísérletileg ellenőrizzük válaszaink helyességét.