Sztochasztikus modellek (2010 ősz)
Időpont, helyszín:
| előadás: hétfő 16-18, Kerékjártó terem, |
| gyakorlat: kedd 18-20, Kerékjártó terem. |
Tudnivalók: A félév folyamán két darab másfélórás feladatmegoldó dolgozatot iratunk, melyeken 30-30 pontot lehet szerezni. A vizsgaidőszakban egy írásbeli vizsga keretei között további 40 pontot lehet kapni. A vizsgadolgozatban elméleti kérdések (definíció, tételkimondás) és számítási feladatok is lehetnek. Az előadás és a gyakorlat egyben kreditelt, tehát a gyakorlatot csak az teljesíti, aki legalább elégséges eredményt ér el a 100 pontos rendszerben.
Előzetes ponthatárok:
| 88-100 | jeles (5) |
| 75-87 | jó (4) |
| 62-74 | közepes (3) |
| 49-61 | elégséges (2) |
| 0-48 | elégtelen (1) |
Előzetes tematika:
1. hét (szeptember 6., 7.):
Előadás: Valószínűség, valószínűségi változók. Eseményre vett feltételes eloszlás és feltételes várható érték.
Gyakorlat: Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások.
2. hét (szeptember 13., 14.):
Előadás: Valószínűségi vektorváltozók eloszlása és sűrűségfüggvénye.
Gyakorlat: A teljes valószínűség és a teljes várható érték tétele.
3. hét (szeptember 20., 21.):
Előadás: Sztochasztikus folyamatok. Diszkrét idejű Markov-láncok definíciója és átmenetvalószínűségei.
Gyakorlat: A Wald azonosság. Az exponenciális eloszlás fontosabb tulajdonságai.
4. hét (szeptember 27., 28.):
Előadás: Diszkrét idejű Markov-láncok állapotai és osztályai. A véletlen bolyongás és a Pólya-tétel.
Gyakorlat: Diszkrét idejű Markov-láncok átmenetvalószínűségei, állapotai és osztályai.
5. hét (október 4., 5.):
Diszkrét idejű Markov láncok limeszvalószínűségei és stacionárius eloszlása. A periodikus osztályos jellemzése.
6. hét (október 11., 12.):
Elérési idők és elnyelési valószínűségek Markov láncokban. Egyszerűbb lineáris differenciaegyenletek megoldása. A játékos csődje probléma.
7. hét (október 18., 19.):
Valószínűségi generátorfüggvények. A Galton–Watson folyamat és a kihalási tétel.
8. hét (október 25., 26.):
Őszi szünet.
9. hét (november 1., 2.):
Előadás: Ünnep, Mindenszentek.
Gyakorlat: Dolgozat az 1.-6. hét anyagából.
10. hét (november 8., 9.):
Előadás: A felújítási folyamat és az elemi felújítási tétel. A Poisson folyamat.
Gyakorlat: Az exponenciális eloszlás. A felújítási folyamat alkalmazása tömegkiszolgálási problémákban.
11. hét (november 15., 16.):
Exponenciális sorbanállási modellek, születési-halálozási folyamatok.
12. hét (november 22., 23.):
Folytonos idejű Markov-láncok átmenetvalószínűségei, generátormátrixa és invariáns eloszlása.
13. hét (november 29., 30.):
Előadás: Lineáris differenciálegyenletek megoldása. Kolmogorov egyenletei folytonos idejű Markov láncokra.
Gyakorlat: További feladatok folytonos idejű Markov láncokra: elérési idők, elnyelési valószínűségek.
14. hét (december 6., 7.):
A megbízhatóságelmélet elemei.
15. hét (december 13., 14.):
Előadás: Dolgozat a 7.-14. hét anyagából.
Gyakorlat: A standard Brown-mozgás definíciója és néhány gyakorlati alkalmazása.
Ajánlott irodalom:
Sheldon M. Ross: Introduction to Probability Models, Academic Press, New York, több kiadásban.
Konstantin Borovkov: Elements of Stochastic Modelling, World Scientific, New Jersey, 2003.
William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Kiadó, Budapest, 1978.
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, több kiadásban.