A félév során házi feladatokat tűzök ki CooSpace-en, melyek megoldását az ott megadott határidőig kell a rendszerbe feltölteni. A vizsgaidőszakban meghirdetett vizsgaidőpontokban pedig szóbeli vizsgák lesznek (beugróval); melyhez a pontos tematika elérhető lesz a honlapomon. A házi feladatokból és a vizsgából egyaránt legalább az ott elérhető pontszám 40%-át el kell érni (a házi feladatra vonatkozó kritérium a gyakorlati aláírás feltétele). A házi feladatok és vizsga százalékos eredménye 50-50%-os súllyal számít bele a végső érdemjegybe:
0% – 50%: elégtelen
51% – 62%: elégséges
63% – 75%: közepes
76% – 87%: jó
88% – 100%: jeles
A félév folyamán pluszpontokat is lehet gyűjteni az óra alatt tett érdemi hozzászólással/hibajelzéssel, illetve szorgalmi feladatok megoldásával.
1. Alapok (prezentáció): Kombinatorikus alapelvek. Bijekció. Skatulyaelv.
Egy n elemű halmaz részhalmazainak száma. Részhalmaz karakterisztikus vektora. Páros/páratlan elemszámú részhalmazok száma.
2. Binomiális együtthatók (prezentáció): A binomiális együtthatók definíciója. Képlet az (nk) binomiális együtthatóra.
A binomiális együtthatók rekurzív kiszámítási módja. A Pascal-háromszög és alaptulajdonságai (szimmetria, egy sor elemeinek összege). Binomiális tétel.
3. Multihalmazok (prezentáció): Multihalmazok precíz definíciója + alapfogalmak (multihalmaz elemei, elemszáma, részmultihalmazai).
Részmultihalmazok száma. Egy n elemű alaphalmaz feletti k elemű multihalmazok száma.
4. Sorbaállítások, átrendezések (prezentáció): Sorbaállítás definíciója. Egy n elemű halmaz sorbaállításainak száma.
Multihalmaz sorbaállítása, és a sorbaállítások száma.
5. Logikai szita (prezentáció): A szita formula + egy tetszőleges alkalmazás (3-nál több kiszitálandó halmazzal).
6. Rekurziók (prezentáció):
Lineáris rekurziók megoldása.
Lineáris rekurziók alaptétele (biz. nélkül).
7. Gráfelméleti alapok (prezentáció): Egyszerű gráf, (általános) gráf definíciója. Fokszámok. Fokszámtétel (a fokszámösszeg és az élszám kapcsolata).
Részgráf. Feszítő és feszített részgráfok. Teljes gráf.
Egyszerű gráf komplementere. Gráfok izomorfiája.
8. Összefüggőség, komponensek, páros gráfok (prezentáció 1. + prezentáció 2. + az előző témakör prezentációja):
Séta, vonal, út. Kör. Összefüggőség. "Sétával való összekötöttség" reláció, komponensek. Páros gráfok, ,,fokszámtétel'' páros gráfokra.
9. Fák (prezentáció): Fák ekvivalens definíciói (hasznos minél többet ismerni, de elég annyi, amennyi előadáson volt).
Feszítőfák összefüggő gráfokban. Levelek. Ághajtás operáció, fák "struktúratétele" (fák jellemzése ághajtás operációkkal). A fa éleinek száma.
10. Euler-vonal (prezentáció): Euler-vonal definíciója (nyílt és zárt). Euler-tétel.
Königsbergi hidak problémája: Königsberg (ma Kalinyingrád) térképe Euler idejében, és a gráf.
11. Hamilton-út, Hamilton-kör (prezentáció): Hamilton-út, Hamilton-kör definíciója. Egy (nem mindig alkalmazható) módszer annak igazolására, hogy a gráfban nincs Hamilton-kör/út.
Dirac-tétel (bizonyítás nélkül).
1. Kombinatorikus alapelvek, részhalmazok
2. Binomiális együtthatók, polinomok
3. Multihalmazok
4. Sorbaállítások, átrendezések
5. Logikai szita
6. Rekurziók
7. Gráfelméleti alapok
8. Séták, vonalak, utak, körök
9. Fák
10. Páros gráfok, kromatikus szám
Hajnal Péter: KOMBINATORIKAI FOGALOMTÁR
A fő segédanyag Hajnal Péter internetes jegyzete a kurzushoz: 2016/2017-es tanév, 2013/2014-es tanév
Ez a jegyzet kevesebb anyagot tartalmaz, viszont olvasmányosabb: 2016/2017-es tanév
Euler-vonal: #1 (zárt),
#2 (zárt),
#3 (nyílt).
Hamilton-út: #1, #2.
Hamilton-kör: #1, #2, #3.
Komponensek: #1 (gráf 4 komponenssel),
#2 (gráf 3 komponenssel),
#3 (gráf 3 komponenssel).
Fa: #1, #2.
Feszítőfa: #1.
Gyökeres fa lerajzolása: #1 (gyökér: 'r'), #2 (gyökér: 'a').
Síkgráf duálisa: #1, #2, #3, #4.
A duális gráf az eredeti gráf lerajzolásától is függ: #1.
Jó (csúcs)színezés: #1, #2.
Térképszínezési probléma / négyszíntétel szemléltetése: #1, #2.
Párosítás: #1 (nem teljes), #2 (teljes),
#3 (páros gráf egy párosítása), #4 (páros gráf egy A-t lefedő párosítása),
#5 (páros gráf egy teljes párosítása).
Kőnig-akadály: #1, #2. Lefogó ponthalmaz: #1.
Turán-gráf: #1 (T13,4, T14,4, T13,2 és T14,3), #2 (T7,3).
A képek többségét más oldalakról linkeltem (az URL-ből kiolvasható/megkereshető a forrás).
Hajnal Péter: Összeszámlálási problémák (Polygon Jegyzettár)
Hajnal Péter: Gráfelmélet, II. kiadás (Polygon Jegyzettár)
Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatok (Typotex, interneten is olvasható)
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Online rekurzió megoldó
The book "generatingfunctionology"
