Matematikai alapismeretek biológusoknak  - 2. dolgozat  - 2015. december 1.

Gyak. ideje: Kedd 8:00-9:30    Gyak. vez.: ......................................

Név: .......................................................................

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Elméleti kérdés.  6 pont

Mit nevezünk egy függvény határozott integráljának. Mi a geometriai jelentése? Írja le a Newton-Leibniz formulát.

Elemi függvények ábrázolása. 1+2+3 pont

Rajzolja fel az alábbi függvények grafikonját.

(Subscript[log, 2])x;           (e^(-x));        (((x-2))^2)

Érintőmező. 4+6 pont

A baloldali ábra az F(x)  függvény deriváltját ábrázolja.
a) Mely helyeken veszi fel az F(x) lokális maximumát és minimumát? 
b) Ábrázolja az érintőmező elemeit a megadott rácspontokban. Ha szükségesnek érzi, rajzoljon több elemet. Rajzoljon be néhány lehetséges F(x) függvényt.

Clear[f,F]
f[x_]:=Evaluate[-2(x+0.5)(x-0.5)(x-1.5)];
Grid[{{TraditionalForm[F'[x]],"Érintőmező"},{Plot[f[x],{x,-0.7,1.7},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotRange->{-1.2,1.2},
GridLines->{Range[-3,3,0.5],None},GridLinesStyle->Directive[Gray],ImageSize->{300,200}]
,
Plot[0,{x,-0.7,1.7},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotStyle->White,PlotRange->{-1.1,1.5},GridLines->{Range[-3,3,0.5],Range[-3,2,0.5]},GridLinesStyle->Directive[Gray],ImageSize->{300,200}]}}]

Primitív függvény keresés.  6+4 pont

Határozatlan  integrál, elemi módszerek. 10 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált elemi integrálási szabályok felhasználásával.

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás. 10 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerének felhasználásával:

∫ (1/((x^2)-x-6))dx.

Határozatlan  integrál. 14 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés vagy a parciális integrálás módszerével.

∫x cos x dx; 		∫ ((x^4)/(Sqrt[(x^5)+6]))dx

Határozott integrál grafikusan. 2+2+2+3 pont

Egy egyenes vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebességét az alábbi grafikon mutatja.

f=Line[{{0,2},{1,2},{2,0},{3,-1},{6,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Gray,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True,AxesLabel->{t,v}]

a) Mennyit változik a test helyzete a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=6 pillanatok között?
b) Hol van a test legtávolabb a kezdeti ponttól?
c) Mennyi a test által megtett teljes út?
d) Mennyi az átlagsebesség a [2,6] szakaszon?

Területszámítás. 10 pont

Határozza meg az f(x)=2(x^2)-3x+3 és g(x)=(x^2)+x függvények grafikonjai által határolt korlátos zárt tartomány területét.

Változás. 10+5 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=(t^2)-(e^t)   (m/(s^(2 ))) függvény írja le.

a) Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt, ha v(0)=1 és  s(0)=-1.  
b) Mennyi az átlagsebesség a (Subscript[t, 1])=0  és (Subscript[t, 2])=3 másodpercek között?

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 12 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫ (1/(-2-x+(x^2)))dx.

Határozatlan  integrál 8+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(x^2) ln(x) dx; 		∫ ((x^2)/(Sqrt[(x^3)+2]))dx.

Határozott integrál grafikusan, 5+2 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,3] intervallumon.

f=Line[{{-2,1},{-1,0},{0,0},{2,-2},{3,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-2+x-(x^2) és g(x)=-2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=t+sin(t) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének időbeli változását, ha v(0)=1  és  s(0)=2.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, populációk változása,15+5 pont

Egy populáció területfoglalását vizsgáljuk. Jelölje p(t)  az elfoglalt terület teljes területhez viszonyított arányát. Legyen a kolonizációs ráta  k=5, a kihalási ráta  e=1.  Ekkor a folyamatot a  p'(t)=5p (t)(1-p(t))-1 p(t)   differenciálegyenlet írja le.

a) (10 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja a (t,p) koordinátarendszerben az egyenlet iránymezőjét  a t=0;1;2;3;4 és p=0.`,0.2`,0.4`,0.6000000000000001`,0.8`,1.`,1.2`  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.
Vázolja a p(0)=0.2;  p(0)=1.2 kezdeti értékekből induló megoldások grafikonját.

b) (5 pont) Az iránymező vektorainak meredeksége alapján következtessen az egyensúlyi helyzetek vonzási-taszítási tulajdonságaira.

c) (5 pont bónusz) Változzon a kihalási ráta. Mi az a kritikus “m” érték, amely felett a populáció mindenképpen kihal, azaz a kapott
p'(t)=5p (t)(1-p(t))-m p(t) egyenletnek nincs pozitív egyensúlyi állapota?

Style Definitions for the Mathematica developments at University of Szeged 2011

Style Environment Names

Notebook Options Settings

The options defined for the style below will be used at the Notebook level.

Styles for Titles, Chapters and Sections Cells

Titles

Chapters

Sections

Styles for Theorem-like environments

Styles for Body Text

Standard

Display

Lists

Bulleted

Numbered

Null

Styles for Input and Output

Styles for Formulas and Figures

Styles for Formulas and Programming

Special book styles

Styles for Printed Runningheads and Footers