\documentclass[magyar]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\setcounter{tocdepth}{3}
\usepackage{array}
\usepackage{amssymb}

\makeatletter

\providecommand{\tabularnewline}{\\}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
% % this default might be overridden by plain title style
% \newcommand\makebeamertitle{\frame{\maketitle}}%
% \AtBeginDocument{
%   \let\origtableofcontents=\tableofcontents
%   \def\tableofcontents{\@ifnextchar[{\origtableofcontents}{\gobbletableofcontents}}
%   \def\gobbletableofcontents#1{\origtableofcontents}
% }
% \long\def\lyxframe#1{\@lyxframe#1\@lyxframestop}%
% \def\@lyxframe{\@ifnextchar<{\@@lyxframe}{\@@lyxframe<*>}}%
% \def\@@lyxframe<#1>{\@ifnextchar[{\@@@lyxframe<#1>}{\@@@lyxframe<#1>[]}}
% \def\@@@lyxframe<#1>[{\@ifnextchar<{\@@@@@lyxframe<#1>[}{\@@@@lyxframe<#1>[<*>][}}
% \def\@@@@@lyxframe<#1>[#2]{\@ifnextchar[{\@@@@lyxframe<#1>[#2]}{\@@@@lyxframe<#1>[#2][]}}
% \long\def\@@@@lyxframe<#1>[#2][#3]#4\@lyxframestop#5\lyxframeend{%
%   \frame<#1>[#2][#3]{\frametitle{#4}#5}}
% \def\lyxframeend{} % In case there is a superfluous frame end
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\frenchspacing

\usetheme{Warsaw}
\date{}

\setbeamertemplate{headline}
{
  \leavevmode%
  \hbox{%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1.5ex,right]{section in head/foot}%
    \usebeamerfont{section in head/foot}\insertsectionhead\hspace*{2ex}
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1.5ex,left]{subsection in head/foot}%
    \usebeamerfont{subsection in head/foot}\hspace*{2ex}\insertsubsectionhead
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
} 

%\AtBeginSubsection[]
%{
%   \begin{frame}
%       \frametitle{Tartalom}
%       \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%   \end{frame}
%}
%\AtBeginSection[]
%{
%   \begin{frame}
%       \frametitle{Tartalom}
%       \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%   \end{frame}
%}

\makeatother

\usepackage{babel}
\begin{document}

\title{Példa paraméteres\\
egyenletrendszer megoldására }


\author{Lineáris algebra\\
gyakorlat}


\institute{Összeállította:\\
Bogya Norbert}

\frame{\maketitle}

\begin{frame}{Feladat}
\begin{block}
{Feladat} Adja meg az 
\begin{eqnarray*}
x+y-z & = & 2\\
2x+3y-5z & = & 5\\
x+(p+1)y+(1-2p)z & = & 2p+4\\
-x-y+(p^{2}-3)z & = & 2p+2
\end{eqnarray*}
 egyenletrendszer megoldását a $p$ paraméter függvényében.
\end{block}
\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás I.}
\framesubtitle{Gauss-elimináció I.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
2 & 3 & -5 & 5\\
1 & p+1 & 1-2p & 2p+4\\
-1 & -1 & p^{2}-3 & 2p+2
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]

\pause{}Az első sor $(-2)$-szeresét hozzáadom a második sorhoz:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
1 & p+1 & 1-2p & 2p+4\\
-1 & -1 & p^{2}-3 & 2p+2
\end{array}\right)
\]
\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás II.}

\framesubtitle{Gauss-elimináció II.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
1 & p+1 & 1-2p & 2p+4\\
-1 & -1 & p^{2}-3 & 2p+2
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}Az első sor $(-1)$-szeresét hozzáadom a harmadik sorhoz:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & p & 2-2p & 2p+2\\
-1 & -1 & p^{2}-3 & 2p+2
\end{array}\right)
\]

\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás III.}


\framesubtitle{Gauss-elimináció III.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & p & 2-2p & 2p+2\\
-1 & -1 & p^{2}-3 & 2p+2
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}Az első sort hozzáadom a negyedik sorhoz:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & p & 2-2p & 2p+2\\
0 & 0 & p^{2}-4 & 2p+4
\end{array}\right)
\]



\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás IV.}


\framesubtitle{Gauss-elimináció IV.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & p & 2-2p & 2p+2\\
0 & 0 & p^{2}-4 & 2p+4
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}A második sor $(-p)$-szeresét hozzáadom a harmadik sorhoz:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 2+p & p+2\\
0 & 0 & p^{2}-4 & 2p+4
\end{array}\right)
\]



\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás V.}


\framesubtitle{Gondolkodós rész I.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 2+p & p+2\\
0 & 0 & p^{2}-4 & 2p+4
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}Az utolsó sort alakítsuk szorzattá:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & (p-2)(p+2) & 2(p+2)
\end{array}\right)
\]



\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás VI.}


\framesubtitle{Gauss-elimináció V.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & (p-2)(p+2) & 2(p+2)
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}A harmadik sor $(p-2)$-szeresét vonjuk le a negyedik sorból:\pause{}

\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & 0 & 2(p+2)-(p+2)(p-2)
\end{array}\right)\rightsquigarrow
\]


\pause{}\textrm{
\[
\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & 0 & -p^{2}+2p+8
\end{array}\right)
\]
}


\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás VII.}


\framesubtitle{Gondolkodós rész II.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & 0 & -p^{2}+2p+8
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Az utolsó sor ,,majdnem ellentmondó'', ezért nézzük, mikor
kapunk ellentmondó sort.
\item \pause{}Nyilván akkor, ha az utolsó sor utolsó eleme nem nulla.
\end{itemize}
\pause{}
\[
-p^{2}+2p+8=-(p+2)(p-4)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Az utolsó sor akkor ellentmondó, ha $p\neq-2$ és $p\neq4$.
\item \pause{}Tehát, ha $p\neq-2$ és $p\neq4$, akkor az egyenletrendszernek
nincs megoldása.
\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás VIII.}


\framesubtitle{Gondolkodós rész III.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & 0 & -p^{2}+2p+8
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Két lehetséges eset maradt: $p=-2$ vagy $p=4$.
\item \pause{}Nézzük a $p=-2$ esetet. Helyettesítsünk be a bővített mátrixba:
\end{itemize}
\pause{}
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right)
\]



\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás IX.}


\framesubtitle{Visszafejtés I.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Az $x$ és az $y$ kötött ismeretlen, a $z$ szabad ismeretlen,
ebből következik, hogy végtelen sok megoldás lesz.
\item \pause{}Mivel $z$ szabad ismeretlen, értéke tetszőleges: \textbf{\textcolor{red}{\large{$z\in\mathbb{R}.$}}}{\large \par}
\item \pause{}A második sor azt mondja, hogy $y-3z=1$, azaz \textbf{\textcolor{red}{\large{$y=3z+1.$}}}{\large \par}
\item \pause{}Az első sor azt mondja, hogy $x+y-z=2$, azaz $x=2+z-y$,
tehát \textbf{\textcolor{red}{\large{$x=2+z-3z-1=-2z+1.$}}}{\large \par}
\item \pause{}Tehát $p=-2$ esetén a megoldás: 
\[
\left(-2z+1,3z+1,z\right).
\]

\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás X.}


\framesubtitle{Gondolkodós rész IV.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & p+2 & p+2\\
0 & 0 & 0 & -p^{2}+2p+8
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Egy lehetséges eset maradt: $p=4$.
\item \pause{}Nézzük ezt az esetet. Helyettesítsünk be a bővített mátrixba:
\end{itemize}
\pause{}
\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 6 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
\]



\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás XI.}


\framesubtitle{Visszafejtés II.}

\[
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 2\\
0 & 1 & -3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
\]

\begin{itemize}
\item \pause{}Az $x,y,z$ ismeretlenek mind kötöttek, így egyetlen megoldás
lesz.
\item \pause{}Az utolsó sor azt mondja, hogy \textbf{\textcolor{red}{\large{$z=1.$}}}{\large \par}
\item \pause{}A második sor azt mondja, hogy $y-3z=1$, azaz \textbf{\textcolor{red}{\large{$y=3+1=4.$}}}{\large \par}
\item \pause{}Az első sor azt mondja, hogy $x+y-z=2$, azaz $x=2+z-y$,
tehát \textbf{\textcolor{red}{\large{$x=2+1-4=-1.$}}}{\large \par}
\item \pause{}Tehát $p=4$ esetén a megoldás: 
\[
\left(-1,4,1\right).
\]

\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}{Megoldás XII.}


\framesubtitle{Összefoglalás}

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\raggedright}m{3.5cm}||>{\centering}m{1.5cm}|>{\centering}m{1.5cm}|>{\centering}m{1.5cm}|}
 & $x$ & $y$ & $z$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p=4$ & $-1$ & $4$ & $1$\tabularnewline
\hline 
$p=-2$ & $-2z+1$ & $3z+1$ & $z$\tabularnewline
\hline 
$p\neq-2$ vagy $p\neq4$ & \multicolumn{3}{>{\centering}m{3.5cm}|}{Nincs megoldás.}\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\par\end{center}


\end{frame}
\end{document}
