Tudnivalók a Számítógépes geometria c. tárgyhoz

A közönséges sík és tér végtelen távoli pontjai, egyenesei. A projektív tér. Vetítések a közönséges és a projektív térben. Kollineációk, projektív transzformációk. Centrális-axiális kollineációk. Középpontos és merőleges nyújtás. Affin transzformációk.

A persektív ábrázolás. Möbiusz-rács. Az axonometrikus ábrázolás. A Monge-féle ábrázolás. Pont és egyenes képe, nyompont, nyomegyenes. Rotációk. Eckhart-féle eljárás.

Bernstein-polinomok. Polinomiális görbék, görbe foka. Bézier-görbe, kontrollpontok, De Casteljau-algoritmus, De Casteljau-pontok. Konvex burok, affin invariancia. Görbe felosztása, rangemelés.

Összetett Bézier-görbék. Folytonos és k-szorosan sima görbék. Bézier-négyszögfelületek, paramétervonalak. Szplájnfelületek. Bézier-háromszögfelületek.

Az előadáson elhangzott összes fogalom, definíció ismerete, az állítások, tételek kimondása. A tételek bizonyításai közül kizárólag az alábbiakat kérem számon.

1. Az affinitások alaptétele: Adott a közönséges síkon két általános helyzetű ponthármas. Ekkor pontosan egy affinitás létezik, mely az egyiket a másikba viszi.
2. A vetítések jellemzése: Adott egy projektív leképezés két projektív térbeli sík között. Ez akkor és csak akkor vetítés, ha a síkok metszésvonalának minden pontja fixpont.
3. A perspektivitások alaptétele: Adott a tárgysíkon egy konvex négyszög, melynek legalább egy szemközti oldalpárja nem párhuzamos. Ekkor a szempont megfelelő választásával elérhető, hogy a négyszög képe a képsíkon egységnégyzet legyen.
4. Az axonometria alaptétele: Adott a képsíkon négy általános helyzetű pont. Ekkor létezik a térben olyan kocka, melynek egy csúcsa és a vele szomszédos másik három axonometrikus képe a négy adott pont.
5. Csak matematikus és programozó szakosoknak:
   Möbiusz-rács szerkesztése négy pontból: A Möbiusz-rács egyetlen cellájának négy csúcsából megszerkeszthető.
6. De Casteljau-algoritmus és a Bézier-görbe egyenlete.
7. A Bézier-görbék alaptulajdonságai: Konvex burokban maradás, affin invariancia, polinomiális tulajdonság.
8. Összetett köbös Bézier-görbék: Adottak a csomópontok és minden csomópontban az érintővektor. Ekkor ezen csomópontokkal és érintőkkel pontosan egy folytosan differenciálható összetett köbös Bézier-görbe van.
9. Bikubikus szplájnfelület előállítása.

1. Definiálja az affin leképezés fogalmát. Mutassa meg, hogy ha egy affinitásnak van három általános helyzetű fixpontja, akkor az az identitás. (6+4 = 10 pont)

2. Definiálja az összetett Bézier-görbe és a sima illesztés fogalmát. (5+5 = 10 pont)

3. Írja le a DeCasteljau-algoritmust és vezesse le a kontrollpontjaival adott Bézier-görbe képletét. (5+5 = 10 pont)

4. Mondja ki és bizonyítsa be a vetítéseket jellemző tételt. (3+7 = 10 pont)

Kurusa Árpád - Szemők Árpád: A számítógépes ábrázoló geometria alapjai. Polygon, 1999.
Nagy Gábor: Koordinátageometria jegyzetvázlat. http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg/Oktatas/koordgeo.pdf