A geometriai kutatások kezdeteitől fogva nagy szerepet játszott a különböző geometriai objektumok "szimmetriáinak", mai nyelven szólva automorfizmusainak vizsgálata. Az ebben az értelemben legjobb hatásfokkal leírt struktúrák a lineáris és kvadratikus (azaz első- és másodfokú egyenlettel megadható) rendszerek. A klasszikus csoportok legfontosabb osztályait az ilyen struktúrák automorfizmuscsoportjai alkotják: ezeket lineáris, illetve ortogonális csoportoknak nevezzük.

Geometriák alatt ebben a tárgyalásban egy tetszőleges test feletti affin vagy projektív teret értünk, és különösen nagy figyelmet fogunk szentelni azoknak az eseteknek, ahol a koordinátázó test a valós vagy a komplex számtest, illetve egy véges test. Egy példán keresztül röviden érinteni fogjuk a ferdetest feletti geometriák esetét is.

Az előadáson bizonyítandó főbb tételek: a projektív leképezések alaptétele, a projektív speciális lineáris csoport egyszerűsége, a kvadratikus felületek osztályozása, a kúpszelet automorfizmusai, Klein-megfeleltetés.

Az előadás anyagához szükséges előismeretek: lineáris algebra, testek, csoportelmélet.