% !TeX spellcheck = hu_HU
% A legelső sor a TeXstudio programot tájékoztatja arról, hogy a dokumentumunk magyar nyelvű.
%
% A `` %'' százalékjellel kezdődő sorokat a latex fordító kihagyja, így tudunk megjegyzéseket 
% írni a dokumentumunkba.
%
% A latex parancsok kivétel nélkül a ``\" visszadőlő perjellel kezdődő szavak. 
% A parancsok argumentumait ``{}'' kapcsos vagy ``[]'' szögletes zárójelbe írjuk.
%
% A latex forrásfájl első sorában megadjuk a betű- és lapméretet, valamint a dokumentum típusát. 
\documentclass[12pt,a4paper]{article}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{t1enc}				% Bizonyos ``csomagok'' betöltésével bővítjük a szerkesztési lehetőségeinket. 
\usepackage[utf8]{inputenc}		% Az első két csomag lehetővé teszi a forrásfájlban magyar ékezetes betűk használatát.
\usepackage{mathpazo}			% A dokumentumunk betűtípusát ``Palatino''-ra állítjuk.
\usepackage[magyar]{babel}		% Megadjuk a dokumetum nyelvét, így magyarul választ majd el.
\usepackage{amsmath}			% Az American Mathemathical Society (AMS) által írt csomagok
\usepackage{amssymb}			%   sok kényelmi funkciót tartalmaznak, érdemes ezeket használni. 
\usepackage{amsthm}				%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Definiáljuk a ``tételszerű környezeteinket. 
% Ebben a tételek, állítások, definíciók, stb. számozása folyamatos, azaz
% pl. a 2.2 Tétel utána a 2.3 Definíció következik. 
\newtheorem{tetel}{Tétel}[section] 
\newtheorem{lemma}[tetel]{Lemma}
\newtheorem{kovetkezmeny}[tetel]{Következmény}
\newtheorem{definicio}[tetel]{Definíció}
\newtheorem{allitas}[tetel]{Állítás}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Az előre definiált matematikai operátorok (\exp, \sin, stb.) mellett
% megadhatunk sajátokat is.
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% A címet és a szerzőt itt kell megadnunk, a dokumentumban a megfelelő elhelyezést a 
% fordítóprogram fogja elvégezni. 
\title{Tengelyes tükrözések (\LaTeX{} mintaszöveg)}
\author{Készítette: Nagy Gábor Péter}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

% A LaTeX alapvető kontrukciója a ``környezet'' (environment) fogalma. 
% A szöveg logikai egységeit a ``\begin'' és ``\end'' parancsokkal közrefogott részekre osztjuk. 
% A megfelelő kiszerkesztés szintén a LaTeX fordítóprogram feladata.
\begin{abstract}
Bemutatjuk, hogy három egy ponton átmenő egyenesre vett tengelyes tükrözés szorzata helyettesíthető egyetlen tengelyes tükrözéssel. 
\end{abstract}

\section*{Bevezetés}

% A névelős hivatkozás az \acite, \Acite parancsokkal történik.
A tételünk bizonyítása \acite{SzaboZ} jegyzetben található.


% 1. fejezet: Alapfogalmak. A fejezetek számozását természetesen a fordítóprogram végzi majd el. 
\section{Alapfogalmak}

% A folyó szövegbe szúrt matematikai jeleket ``$'' dollárjelek jözé írjuk.
Az $\mathbb{E}^2$ euklideszi sík tárgyalásában központi szerepet töltenek be az egybevágósági transzformációk, és ezek között különösen fontosak a tengelyes tükrözések. A síkon a $P,Q$ pontok távolságát $|PQ|$ jelöli. Az $\alpha:\mathbb{E}^2\to \mathbb{E}^2$ leképezést \emph{egybevágósági transzformációnak} nevezzük, ha minden $P,Q$ pontra 
% A középre kiemelt matematikai szöveket ``\['' és ``\]'' jelek közé írjuk.
\[|PQ|=|\alpha(P)\alpha(Q)|.\]
Megmutatható, hogy az egybevágósági transzformációk szakasz szakaszba, félegyenest félegyenesbe és egyenest egyenesbe képeznek. Az identikus transzformációt $\id$-del jelöljük. 

\begin{definicio}
Legyen $e$ egyenes. Az $\alpha$ egybevágósági transzformációt \emph{$e$-re vett tengelyes tükrözésnek} nevezzük, ha $\alpha \neq \id$ és $e$ minden pontja fixpont. Jelölés: $\alpha=\tau_e$. 
\end{definicio}

Az, hogy minden $e$ egyeneshez pontosan egy $e$-re vett tengelyes tükrözés létezik, egyáltalán nem magától értetődő. Ezt az állítást vagy axiómában mondjuk ki, vagy tételként bizonyítjuk be. 



\section{Három tengelyes tükrözés szorzata}

% Ha az adott lemmára (definícióra, stb.) később hivatkozunk, akkor ``címkét'' (label) kell neki adni. 
\begin{lemma} \label{lemma:1}
Ha az $\alpha$ egybevágósági transzformációnak $P$ és $Q$ fixpontja, ahol $P\neq Q$, akkor a $PQ$ egyenes minden pontja fix és $\alpha=\tau_{PQ}$. 
\end{lemma}
\begin{proof}
Mivel $\alpha$ távolságtartó és $\alpha\neq \id$, tetszőleges $R$ pont $\alpha$ melletti $R'$ képét az általános iskolában tanult szerkesztési eljárással tudjuk megszerkeszteni: $R'$ a $P$ középpontú $|PR|$ sugarú és a $Q$ középpontú $|QR|$ sugarú körök $R$-től különböző metszéspontja. Ebből következik, hogy $\alpha$ nem más, mint a $PQ$ egyenesre vett tengelyes tükrözés. Speciálisan, $PQ$ minden pontja fix. 
\end{proof}

\begin{tetel}
Legyenek $a,b,c$ a $P$ ponton átmenő egyenesek. Az ezekre vett tengelyes tükrözések szorzata $\tau_a\tau_b\tau_c=\tau_d$, ahol $d$ szintén $P$-n átmenő egyenes. 
\end{tetel}
\begin{proof}
Legyen $Q$ a $c$ egyenes $P$-től különböző pontja, $Q'=(\tau_a\tau_b)(Q)$ és $d$ a $QQ'$ felezőmerőlegese. Mivel $|PQ|=|(\tau_a\tau_b)(P)(\tau_a\tau_b)(Q)|=|PQ'|$, ezért $P\in d$ és $P$ fixpontja $\tau_d\tau_a\tau_b$-nek. Továbbá, 
\[(\tau_d\tau_a\tau_b)(Q)=\tau_d[(\tau_a\tau_b)(Q)]=\tau_d(Q')=Q,\]
azaz $Q$ is fixpontja $\tau_d\tau_a\tau_b$-nek. \Aref{lemma:1} Lemma szerint 
\[\tau_d\tau_a\tau_b=\tau_{PQ}=\tau_c,\]
amit megszorozva balról $\tau_d$-vel és jobbról $\tau_c$-vel
\[\tau_a\tau_b\tau_c=\tau_d\]
adódik. 
\end{proof}


% Az irodalomjegyzék külön számozatlan fejezet lesz. 
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{SzaboZ} Szabó Zoltán. Bevezető fejezetek a geometriába 1. kötet. JATE Jegyzet, Szeged, 1968. 
\end{thebibliography}

\end{document}