POLINOM2.EXE

A program az algebra alaptételét illusztrálja komplex együtthatós polinomok grafikus megjelenítését lehetővé téve. A futtatáshoz a POLINOM2.EXE főprogram mellett az EGAVGA.BGI fájlra is szükség van. A program VGA szabványú monitorokon működik megfelelően.

Az algebra alaptétele szerint bármely n-edfokú (n ≥ 1) (komplex együtthatós) polinomnak (multiplicitással együtt) pontosan n gyöke van a komplex számtestben. Ez az állítás ekvivalens azzal, hogy bármely legalább elsőfokú (komplex együtthatós) polinomnak van zérushelye. A program segítségével szemléletesen látható, hogy a zérushely minden polinom esetén létezik.

A matematikai bizonyítás lényege a következő (az érvelés egzakttá tehető, precíz(ebb)en dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet c. könyvében található meg): Rögzítünk egy ε(> 0) valós számot. Az

f(z) = ∑_{k=0} c_{k}z^{k}

polinomot azon z-kre értékeljük ki, amelyekre |z| = ε. Most a

φ : C → C, zφ = f(z)

leképezések az origó körüli ε sugarú kört folytonos alakzatba transzformálják. Jelöljük ezt az alakzatot Φ-vel! Azt mondjuk, hogy a transzformáció utáni Φ alakzat megkerüli az origót, ha létezik két olyan z_{1} és z_{2} pontja, melyekre Re(z_{1}) > 0, Im(z_{1}) > 0, Re(z_{2}) < 0 és Im(z_{2}) < 0 teljesül. Azt kell csak látni, hogy található olyan ε, amelyhez a fenti z_{1} és z_{2} létezik. Most csökkentsük ε-t folytonosan addig, amíg a Φ alakzat a c_{0} pontra “zsugorodik” össze! A folytonos változás miatt nyilván lesz egy olyan ε, amelynél Φ átmegy az origón.

A program használatáról. Legfeljebb hetedfokú polinomok ábrázolása lehetséges. Az egyes funkciókat a szögletes zárójelekbe tett betűkkel és számokkal lehet előhívni. A programnak két állapota van: várakozó és animációs. Mindkét állapotban ugyanazokat a funkciókat lehet elérni, a különbség annyi, hogy animációs állapotban a számítógép a Sugár kezdő ε értéktől a Célsugár ε értékig 50 lépésben egyesével kirajzolja a |z| = ε és Φ ponthalmazokat. Az előbbi világospiros, utóbbi fehér színben jelenik meg.

A program által felkínált parancsok tehát: ε értékének megadása (S gomb), ε végértékének megadása animáció esetén (C gomb), az egységnégyzet (a képernyőn lila szinű) oldalhosszának megadása pixelben (E gomb), a rajzolás finomsága: kör helyett szabályos sokszöget képezünk le az animáció gyorsítása végett (F gomb), a polinom együtthatóinak megadása (számbillentyűk 0-tól 7ig), az animáció elindítása (A gomb), az animáció leállítása (tetszőleges gomb), program vége (V gomb).

A numerikus adatok beírásakor a számbillentyűket, a mínusz-jelet, a tizedespontot ill. a törlés és a sorvége-jelet lehet használni. Minden numerikus adat abszolút értékben kisebb kell, hogy legyen 1000-nél, s legfeljebb két tizedesjegyet tartalmazhat. A Finomság értékét megváltoztatva az animáció sebességét gyorsíthatjuk, de ez a görbék megjelenítési minőségének esetleges kárára fog történni.

A program nem tökéletes, az animáció során a képernyő felső része feleslegesen villog. Ez az apró programhiba általában nem zavaró.

Szerző: Kovács Zoltán, a JATE II. matematika–számítástechnika szakos hallgatója. Készült: 1995. május 12-én és 1996. június 7-én Turbo Pascal nyelven. Tisztelettel dr. Szalay István, dr. Megyesi László és dr. Szendrei János tanár urak részére.