Numerikus és számítógép-algebrai módszerek az analízisben

1. Numerikus módszerek

„A számítógép buta, de gyorsan számol.”

1. Technikai részletek: pontosság (statikus vagy dinamikus adatábrázolás, adattípus, kerekítés), programozási nyelv (C, Pascal, Mathlab/Octave), vezérlési szerkezetek (szekvenciális, szelekciós, ismétléses), operációs rendszer

2. Sorozatok határértékei

(a) Sorozatok határértékeinek megsejtése (sorozatok; rekurziók; sorok, hatványsorok, Fourier-sorok)

(b) Hogyan működik a számológép? Elemi függvények numerikus előállításai (sin x, cos x, e^{x}, ln x)

(c) Nevezetes konstansok előállításai, konvergencia-sebesség (π, e, Newton-féle gyökvonó algoritmus)

(d) Konvergencia-sebességen alapuló fraktálok: Newton-fraktál, Mandelbrot-halmaz

(e) Közelítő integrálás (téglalapformulák, trapéz- és Simpson-formula)

3. Függvényábrázolás (egy- és többváltozós), függvényanalízis (gyökkeresés, szélsőértékek meghatározása), kétváltozós függvény deriválhatósága (totális, iránymenti, parciális)

4. Differenciálegyenletek

2. Komputeralgebrai módszerek

„A számítógép buta, de bonyolult algoritmusokra is megtanítható.”

1. A komputeralgebrai és a numerikus módszerek összehasonlítása (számábrázolás, alapműveletek, igaz/hamis/ismeretlen, elemi függvények kiértékelése, tanítás; vezérlési szerkezetek), Maple/\underline{MuPAD}/Maxima

2. Mesterséges intelligencia, heurisztikák, fuzzy logika; evolúció?

3. Függvényarzenál: elemi függvények, zérushely-meghatározás (solve), határérték (limit), deriválás (diff), sorbafejtés (taylor), integrálás (int), interpoláció (lagrange, linsolve), szummáció (sum), speciális függvények (zeta, gamma, psi)

4. Numerikus módszerek: pontosság megadása (DIGITS), közelítő gyökkeresés (numeric::solve), differenciálegyenletek megoldása (numeric::odesolve), közelítő integrálás (numeric::int)