\chapter{Tartalék}

\begin{pelda} 
\begin{eqnarray*}
  - \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^\infty \left( 
  (-1)^{k+1} \frac{4}{k^2} \cos kx + (-1)^{k+1} \frac{2}{k} \sin kx \right) = 
  \\
  = - \underbrace{\left( \frac{\pi^2}{3} + 
  \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{4}{k^2} \cos kx \right)}_{x^2} 
  + \underbrace{\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{2}{k} \sin kx}_x = -x^2 + x
  \\
  \textrm{ha } -\pi < x < \pi
\end{eqnarray*}
\end{pelda}
Ha pedig $x=\pi + 2l\pi$, akkor az összeg $-\pi^2$.

Az 1. sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A 2. sor az $x=l\pi$ ($l$ egész szám) alakú pontokban abszolút konvergens, más pontokban vi\-szont nem abszolút konvergens. Így az \ref{segedtetel}. tétel és következménye alapján az eredeti függvénysor az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens, más pontokban nem abszolút konvergens.

A 2. függvénysor az olyan intervallumokon, amely nem tartalmaz $(2l+1)\pi$ alakú pontot és végpontja sem ilyen alakú, egyenletesen konvergens, más intervallumokon nem egyenletesen konvergens.

Így \aref{segedtetel}. tétel és következménye miatt a $(2l+1)\pi$ alakú pontot nem tartalmazó (és végpontja sem ilyen alakú) intervallumokon a konvergencia egyenletes, más intervallumokon nem egyenletes.

\begin{pelda}
\begin{eqnarray*}
  1 + \frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{4}{k^2} \cos kx + 
  (-1)^k \frac{4}{k} \sin kx \right) =
  \\
  1 + \underbrace{\frac{\pi^2}{3} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{4}{k^2} \cos kx}_{x^2} - 
  2 \underbrace{\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{2}{k} \sin kx}_x = 
  x^2-2x+1
  \\
  \textrm{ha } -\pi < x < \pi
\end{eqnarray*}
\end{pelda}
Ha $x=\pi + 2l\pi$, akkor az összeg $\pi^2 + 1$.

Az abszolút és egyenletes konvergencia vizsgálatánál itt is ugyarra az eredményre jutunk, mint az elõzõ feladatnál.

\begin{pelda} 
\label{hetedik}
$- \frac{4}{3} \pi^2 + \pi + \sum\limits_{k=1}^\infty \left( - \frac{4}{k^2} \cos kx + \frac{4\pi - 2}{k} \sin kx \right)$
\end{pelda}

Alakítsuk át úgy, hogy a konvergenciát könnyen meg tudjuk állapítani!
\begin{eqnarray*}
  - \frac{4}{3} \pi^2 + \pi + \sum\limits_{k=1}^\infty 
  \left( - \frac{4}{k^2} \cos kx + \frac{4\pi - 2}{k} \sin kx \right) =
  \\
  - \frac{4}{3} \pi^2 + \pi -4 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} + 
  (4\pi - 2) \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = (*)
\end{eqnarray*}
Az 1. függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A 2. függvénysor csak az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens. Így az eredeti sor is csak az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens, más pontokban nem.

A 2. trigonometrikus sor csak olyan intervallumon egyenletesen konvergens, amely $2l\pi$ alakú pontot sem belsõ pontként, sem végpontként nem tartalmaz, így az eredeti függvénysor is csak ilyen intervallumokon egyenletesen konvergens, más intervallumokn nem.

A sor összege:
\begin{eqnarray*}
  (*)&= &-\frac{4}{3} \pi^2 + \pi - 
  \left[ \left( \frac{x - \pi}{2} \right)^2 - \frac{\pi^2}{12} \right] + 
  (4\pi - 2) \frac{\pi - x}{2} =
  \\
  &= &-\frac{4}{3} \pi^2 + \pi - 
  \left( x - \pi \right)^2 + \frac{\pi^2}{3} + (2\pi - 1) (\pi - x ) =
  \\
  &= &-\pi^2 + \pi - x^2 + 2\pi x - \pi^2 + 2\pi^2 - 2 \pi x - \pi + x =
  - x^2 + x \textrm{, ha } x \in (0, 2\pi).
\end{eqnarray*}
Ha $x = 2l\pi$, akkor 
\[
  (*)= -\frac{4}{3} \pi^2 + \pi - 4 \frac{\pi^2}{6} + (4\pi -2) 0 = - 2\pi^2 + \pi
\]

\begin{pelda} 
\begin{eqnarray*}
  \frac{4}{3} \pi^2 -2 \pi + 1 &+ &\sum_{k=1}^\infty 
  \left( \frac{4}{k^2} \cos kx + \frac{4 - 4\pi}{k} \sin kx \right) =
  \\ 
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 -2 \pi + 1 + 4 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} + 
  (4 - 4\pi) \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = 
  \\
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 -2 \pi + 1 + 
  \left[ \left( \frac{x - \pi}{2} \right)^2 - \frac{\pi^2}{12} \right] + 
  (4 - 4\pi) \frac{\pi - x}{2} =
  \\
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 -2 \pi + 1 + (x-\pi)^2 - \frac{\pi^2}{3} + (2-2\pi)(\pi-x) =
  \\
  &= &\pi^2 - 2\pi + 1 + x^2 - 2\pi x + \pi^2 + 2\pi - 2x - 2\pi^2 + 2\pi x = 
  \\
  &= &x - 2x +1 = (x-1)^2 \textrm{, ha } x \in (0, 2\pi).
\end{eqnarray*}
\end{pelda}
Ha $x= 2l\pi$, akkor az összeg 
\[
  \frac{4}{3} \pi^2 -2 \pi + 1 + 4 \frac{\pi^2}{6} +(4 - 4\pi)0 = 2\pi^2 - 2\pi + 1.
\]

A konvergenciáról ugyanaz mondható el, mint \aref{hetedik}. példánál.
