\section{Az összegfüggvény meghatározása}
\label{osszetett-osszeg}

Az elõzõ alfejezethez hasonlóan a trigonometrikus sorokat itt is felbontjuk két olyan trigonometrikus sor összegére, amelyek összegfüggvényét már ismerjük, illetve viszonylag egyszerûen meg tudjuk határozni. Majd alkalmazzuk a következõ tételt (lásd \cite{leindler} 359. old.):

\begin{tetel}
\label{osszeg}
Ha a $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ és a $\sum\limits_{k=1}^\infty b_k$ sorok konvergensek, akkor a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( a_k + b_k \right)$ sor is konvergens, továbbá
\begin{equation*}
  \sum_{k=1}^\infty \left( a_k + b_k \right) = \sum_{k=1}^\infty a_k +\sum_{k=1}^\infty b_k;
\end{equation*}
azaz konvergens soroknak megvan az additív tulajdonságuk.
\end{tetel}

Ha ezt a tételt pontonként függvénysorokra alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy a függvénysoroknak is megvan az additív tulajdonsága. Ebben az alfejezetben ezt a tényt fogjuk felhasználni.

\begin{pelda}
\label{osszeg-6}
Határozzuk meg a konvergens
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 + 
  \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left( \frac{4}{k^2} \cos kx - \frac{4\pi}{k} \sin kx \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor összegét!
\end{pelda}

Bontsuk fel a trigonometrikus sort!
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 + 4 \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos kx}{k^2} -
  4\pi \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}
A 2. trigonometrikus sor összegét könnyen meg tudjuk állapítani, ugyanis \aref{osszeg-3}. feladatnál azt kaptuk, hogy $x \in (0,2\pi)$ esetén:
\begin{equation*}
  \pi - 2\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = x.
\end{equation*}
Rendezzük át ezt az egyenletet!
\begin{eqnarray*}
  \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} &= &\frac{\pi - x}{2}
  \\
  -4\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} &= &2\pi x - 2\pi^2
\end{eqnarray*}
Ha pedig $x=2l\pi$, akkor
\begin{equation*}
  -4\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = 0 .
\end{equation*}

Az elsõ trigonometrikus sor összegét még nem tudjuk. Ezt \aref{absz-osszeg}. alfejezetben szereplõ feladatok mintájára fogjuk meghatározni.

A $4\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2}$ trigonometrikus sorról tudjuk, hogy abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán (a $\left| \frac{\cos kx}{k^2} \right| \le \frac{1}{k^2}$ majorálás miatt). Ezért összeg\-függ\-vé\-nyét jelölhetjük $h(x)$-szel, azaz 
\begin{equation*}
  h(x) = 4\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2}.
\end{equation*}
Ezen kívül a függvénysor minden tagja differenciálható a valós számok halmazán. \Aref{difftetel}. tétel alkalmazhatóságához már csak a deriváltakból álló függvénysort kell megvizsgálni.

Legyen $(a,b) \subset (0,2\pi)$. Ekkor a deriváltakból álló függvénysor, azaz
\begin{equation*}
  4\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{\cos kx}{k^2} \right)' =
  - 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}
egyenletesen konvergens $(a,b)$-n, ezt \aref{konvergencia-3}. feladatnál láttuk.

Tehát most már alkalmazhatjuk \aref{difftetel}. tételt, amibõl azt kapjuk, hogy $h(x)$ differenciálható $(a,b)$-n és deriváltja ezen az intervallumon:
\begin{equation*}
  h'(x) = 4\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{\cos kx}{k^2} \right)' =
  -4\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} =
  -4\frac{\pi - x}{2} = 2x - 2\pi .
\end{equation*}
Ebbõl integrálással kapjuk, hogy:
\begin{equation*}
  h(x) = \int (2x - 2\pi) \dd x = x^2 - 2\pi x + c .
\end{equation*}
Feltehetjük, hogy $\pi \in (a,b)$. Helyettesítsünk be $\pi$-t, hogy $c$ értékét megkapjuk:
\begin{equation*}
  h(\pi) = \pi - 2\pi^2 + c = - \pi^2 + c .
\end{equation*}
Másrészt:
\begin{eqnarray*}
  h(\pi) &= &4\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\pi}{k^2} =
  4\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2} =
  \\ 
  &= &\frac{\pi^2}{3} + 
  4\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos (k \cdot 0)}{k^2} - \frac{\pi^2}{3} = 
  \\
  &= &g_5(0) - \frac{\pi^2}{3} = 0^2 - \frac{\pi^2}{3} = - \frac{\pi^2}{3} .
\end{eqnarray*}
Ebbõl adódik, hogy
\begin{equation*}
  c=\frac{2}{3}\pi^2 .
\end{equation*}
Vagyis minden $x \in (a,b)$-re:
\begin{equation*}
  h(x) = x^2 - 2\pi x + \frac{2}{3} \pi^2 .
\end{equation*}

Belátható az is, hogy ez nem csak az $(a,b)$ intervallumon, hanem az egész $(0, 2\pi)$ intervallumon igaz. Ez után csak a végpontok, 0 és $2\pi$ maradtak hátra. 

Mivel $h(x)$ folytonos függvényekbõl álló egyenletesen konvergens függvénysor ö`sszegfüggvénye, ezért \aref{folytonos}. tétel szerint folytonos is. A folytonosság miatt pedig a fenti képlet a végpontokban is igaz. Tehát minden $x \in [0, 2\pi]$-re: 
\begin{equation*}
  h(x) = x^2 - 2\pi x + \frac{2}{3} \pi^2.
\end{equation*}

Ezek után visszatérhetünk az eredeti sor összegfüggvényének meghatározásához, amit $g_6(x)$-szel fogunk jelölni. Elõször legyen $x \in (0,2\pi)$. Ekkor:
\begin{eqnarray*}
  g_6(x) &= &\frac{4}{3} \pi^2 + 4 \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} - 
  4\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = 
  \\
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 + \left( x^2 - 2\pi x + \frac{2}{3} \pi^2 \right) +
  \left( 2\pi x - 2\pi^2 \right) = x^2.
\end{eqnarray*}
Ha $x=0$, akkor az összeg: 
\begin{eqnarray*}
  g_6(0) &= &\frac{4}{3} \pi^2 + 4 \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos (k \cdot 0)}{k^2} - 
  4\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (k \cdot 0)}{k} = 
  \\
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 + h(0) - 4\pi \cdot 0 = 
  \\
  &= &\frac{4}{3} \pi^2 + \frac{2}{3} \pi^2 = 2 \pi^2 .
\end{eqnarray*}

Tehát sikerült meghatároznunk az összegfüggvényt:
\begin{equation*}
  g_6(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                     x^2, &\textrm{ha } 0 < x < 2\pi \\
                     2\pi^2, &\textrm{ha } x=0
                   \end{array} \right.
  \textrm{,és ez $2\pi$ periódussal ismétlõdik.}
\end{equation*}

Visszapillantva \aref{egyutthato-5}. feladatra megállapíthatjuk, hogy: 
\begin{equation*}
  g_6(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                     f_6(x), &\textrm{ha } x \in (2l\pi,2\pi + 2l\pi), \\
                     \frac{f_6(x-0)+f_6(x+0)}{2}, &\textrm{ha } x=2l\pi .
                   \end{array} \right.
\end{equation*}

\begin{pelda}
\label{osszeg-7}
Határozzuk meg a konvergens
\begin{equation*}
  \frac{\pi^2}{3} + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k\frac{\cos kx}{k^2} +
  (-1)^k \frac{\sin kx}{k} \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor összegét!
\end{pelda}

A trigonometrikus sor összegfüggvényét $g_7(x)$-szel fogjuk majd jelölni. De elõször bontsuk fel a trigonometrikus sort!
\begin{equation*}
  \left( \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{\cos kx}{k^2} \right) -
  2 \left( 2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\sin kx}{k} \right) + 1
\end{equation*}

Az elsõ zárójelben szereplõ trigonometrikus sor összegét \aref{osszeg-5}. feladatban határoztuk meg:
\begin{equation*}
  g_5(x) = x^2, \textrm{ ha $-\pi \le x \le \pi$, és ez $2\pi$ periódussal ismétlõdik.}
\end{equation*}
A második zárójelben szereplõ trigonometrikus sor összegét pedig \aref{osszeg-2}. feladatban határoztuk meg:
\begin{equation*}
  g_2(x) = \left\{\begin{array}{ll} x, & \textrm{ha $-\pi < x < \pi$} \\
                                  0, & \textrm{ha $x = \pi$} \end{array}
  \right. \textrm{, és ez $2\pi$ periódussal ismétlõdik.}
\end{equation*}
Tehát
\begin{equation*}
  g_7(x) = g_5(x) - 2g_2(x) + 1.
\end{equation*}
Ezt egy kicsit ki kell részletezni. Legyen elõször $-\pi<x<\pi$. Ekkor
\begin{equation*}
  g_7(x) = x^2 - 2 x + 1 = (x-1)^2 .
\end{equation*}
Ha pedig $x=\pi$, akkor
\begin{equation*}
  g_7(x) = \pi^2 - 2 \cdot 0 + 1 = \pi^2 + 1 .
\end{equation*}
Összegezve a következõt kapjuk:
\begin{equation*}
  g_7(x) = \left\{\begin{array}{ll} 
                    (x-1)^2, & \textrm{ha $-\pi < x < \pi$} \\
                    \pi^2+1, & \textrm{ha $x = \pi$} \end{array} \right. 
  \textrm{, és ez $2\pi$ periódussal ismétlõdik.}
\end{equation*}
Ha eredményünket összehasonlítjuk \aref{egyutthato-7}. feladattal, akkor látjuk, hogy 
\begin{equation*}
  g_7(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                     f_7(x), &\textrm{ha } x \in (-\pi+2l\pi,\pi+2l\pi), \\
                     \frac{f_7(x-0)+f_7(x+0)}{2}, &\textrm{ha } x=\pi+2l\pi.
                   \end{array} \right.
\end{equation*}

\begin{pelda}
\label{osszeg-8}
Határozzuk meg a konvergens
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{\cos kx}{k^2} + 
  \frac{1-\pi}{k} \sin kx \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor összegét!
\end{pelda}

Az összegfüggvényt $g_8(x)$-szel fogjuk jelölni. Elõször bontsuk fel a trigonometrikus sort!
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} + 
  4 (1-\pi) \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}

Az elsõ trigonometrikus sor összegét \aref{osszeg-6}. feladatnál meghatároztuk. Minden $x \in [0,2\pi]$ esetén:
\begin{equation*}
  4\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} = x^2 - 2\pi x + \frac{2}{3} \pi^2.
\end{equation*}
A második függvénysor szintén \aref{osszeg-6}. feladatnál fordult elõ. Ha $x \in (0,2\pi)$, akkor: 
\begin{equation*}
  \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = \frac{\pi-x}{2}.
\end{equation*}
Ha pedig $x=0$, akkor:
\begin{equation*}
  \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k} = 0.
\end{equation*}

Most térjünk vissza az eredeti trigonometrikus sorhoz. Legyen elõször $0<x<2\pi$, ekkor:
\begin{eqnarray*}
  g_8(x) &= &\frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + 
  \left( x^2 - 2\pi x + \frac{2}{3} \pi^2 \right) + 4(1-\pi) \frac{\pi-x}{2}=
  \\
  &= & 2\pi^2 - 2\pi + 1 + x^2 - 2\pi x + 2(\pi -x -\pi^2 +\pi x)=
  \\
  &= &x^2 - 2 x + 1 = (x-1)^2 .
\end{eqnarray*}
Ha pedig $x=0$, akkor:
\begin{eqnarray*}
  g_8(0) &=&\frac{4}{3}\pi^2 -2\pi +1 +\left( 0^2 -2\pi \cdot 0 +\frac{2}{3} \pi^2 \right)+ 
  4 (1-\pi) \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin (k \cdot 0)}{k} = 
  \\
  &= &\frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + \frac{2}{3} \pi^2 + 4 (1-\pi) \cdot 0 = 
  \\
  &= &2\pi^2 - 2\pi + 1 .
\end{eqnarray*}
Tehát sikerült meghatároznunk a trigonometrikus sor összegfüggvényét:
\begin{equation*}
  g_8(x) = \left\{\begin{array}{ll}
                     (x-1)^2, & \textrm{ha $0 < x < 2\pi$} \\
                     2\pi^2 - 2\pi + 1, & \textrm{ha $x = 0$} \end{array} \right. 
  \textrm{, és ez $2\pi$ periódussal ismétlõdik.}
\end{equation*}
Ha megnézzük \aref{egyutthato-8}. feladatban szereplõ függvényt, akkor látjuk, hogy:
\begin{equation*}
  g_8(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                     f_8(x), &\textrm{ha } x \in (2l\pi,2\pi+2l\pi), \\
                     \frac{f_8(x-0)+f_8(x+0)}{2}, &\textrm{ha } x=2l\pi.
                   \end{array} \right.
\end{equation*}
