\section{A konverencia vizsgálata}
\label{oszetett-konvergencia}

Ha egy függvénysort formálisan felbontunk két sor összegére úgy, hogy a kapott két sor konvergens, akkor az eredeti függvénysor is konvergens, és összegfüggvénye megegyezik a két függvénysor összegfüggvényének összegével. A következõ tétel az abszolút és egyenletes konvergenciáról állít hasonlót.

\begin{tetel}
\label{segedtetel}
Ha a $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ és a $\sum\limits_{k=1}^\infty g_k(x)$ függvénysorok abszolút, illetve egyenletesen konvergensek egy $I$ intervallumon, akkor a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor is abszolút, illetve egyenletesen konveregens az $I$ intervallumon.
\end{tetel}

\noindent
\textbf{Az egyenletes konvergencia bizonyítása.}

Tudjuk, hogy a $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ függvénysor egyenletesen konvergens az $I$ intervallumon, ez \aref{cauchy}. tétel alapján azt jelenti, hogy minden pozitív $\varepsilon$-hoz létezik $\nu_1 = \nu_1(\varepsilon)$ úgy, hogy ha $n>\nu_1$, akkor minden $m$ természetes számra és minden $x \in I$-re $\left| \sum\limits_{k=n}^{n+m} f_k(x) \right| < \varepsilon$.

A $\sum\limits_{k=1}^\infty g_k(x)$ függvénysor egyenletesen konvergenciája az $I$ intervallumon, azt jelenti, hogy minden $\varepsilon > 0$-hoz létezik olyan $\nu_2 = \nu_2(\varepsilon)$, hogy ha $n>\nu_2$, akkor minden $m$ természetes számra és minden $x \in I$-re $\left| \sum\limits_{k=n}^{n+m} g_k(x) \right| < \varepsilon$.

Most legyen $\varepsilon > 0$ tetszõleges, rögzített. Ekkor $\frac{\varepsilon}{2}$-höz is létezik olyan $\nu_1$, hogy ha $n>\nu_1$, akkor minden $x \in I$-re és minden $m$ természetes számra $\left| \sum\limits_{k=n}^{n+m} f_k(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Hasonlóan létezik $\nu_2$, hogy ha $n>\nu_2$, akkor minden $x \in I$-re és minden $m$ ter\-mé\-sze\-tes számra $\left| \sum\limits_{k=n}^{n+m} g_k(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Legyen $\nu = \max (\nu_1, \nu_2)$. Ha $\nu<n$, akkor minden $x \in I$-re és minden $m$ természetes számra: 
\begin{equation*}
  \left| \sum_{k=n}^{n+m} \left( f_k(x) + g_k(x) \right) \right| \le 
  \left| \sum_{k=n}^{n+m} f_k(x) \right| + \left| \sum_{k=n}^{n+m} g_k(x) \right| <
  \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .
\end{equation*}
Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor egyenletesen konvergens az $I$ intervallumon.

\noindent
\textbf{Az abszolút konvergencia bizonyítása.}

A $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ függvénysor abszolút konvergens az $I$ intervallumon, ez azt jelenti, hogy minden $\varepsilon > 0$-hoz és minden $x \in I$-hez létezik olyan $\nu_1 = \nu_1 (\varepsilon,x)$, hogy ha $\nu_1 < n$, akkor minden $m$ természetes számra $\sum\limits_{k=n}^{n+m} \left| f_k(x) \right| < \varepsilon$.

A $\sum\limits_{k=1}^\infty g_k(x)$ függvénysor abszolút konvergenciája az $I$ intervallumon, azt jelenti, hogy minden $\varepsilon > 0$-hoz és minden $x \in I$-hez létezik $\nu_2 = \nu_2 (\varepsilon,x)$, hogy ha $\nu_2 < n$, akkor minden $m$ természetes számra $\sum\limits_{k=n}^{n+m} \left| g_k(x) \right| < \varepsilon$.

Most legyen $\varepsilon > 0$ tetszõleges, rögzített és $x_0 \in I$ is tetszõleges, rögzített. Ekkor $\frac{\varepsilon}{2}$-höz is létezik $\nu_1$, hogy ha $\nu_1 < n$, akkor minden $m$ természetes számra $\sum\limits_{k=n}^{n+m} \left| f_k(x_0) \right| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Hasonlóan létezik $\nu_2$, hogy ha $\nu_2 < n$, akkor minden $m$ természetes számra teljesül, hogy $\sum\limits_{k=n}^{n+m} \left| g_k(x_0) \right| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Legyen $\nu = \max (\nu_1, \nu_2)$. Ekkor, ha $\nu < n$, akkor minden $m$ természetes számra:
\begin{equation*}
  \sum_{k=n}^{n+m} \left| f_k(x_0) + g_k(x_0) \right| \le
  \sum_{k=n}^{n+m} \left| f_k(x_0) \right| + \sum_{k=n}^{n+m} \left| g_k(x_0) \right| <
  \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .
\end{equation*}
Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor abszolút konvergens az $I$ intervallum rögzített $x_0$ pontjában. Mivel $x_0$ tetszõleges volt, ezért $I$ minden pontjában abszolút konvergens a függvénysor.

\begin{tetel}[Következmény] 
\label{kovetkezmeny}
Ha a $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ függvénysor abszolút, illetve egyenletesen konvergens és a $\sum\limits_{k=1}^\infty g_k(x)$ függvénysor konvergens, de nem abszolút, illetve nem egyenletesen konvergens az $I$ intervallumon, akkor a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor nem abszolút, illetve nem egyenletesen konvergens $I$-n.
\end{tetel}

\noindent
\textbf{Bizonyítás.}

Tegyük fel, hogy a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor abszolút, illetve egyenletesen konvergens az $I$ intervallumon. Ekkor alkalmazhatjuk \aref{segedtetel}. tételt erre a függ\-vény\-sor\-ra és a $-\sum\limits_{k=1}^{\infty} f_k(x)$ függvénysorra. Mivel mindkét függvénysor abszolút, illetve egyenletesen konvergens, így az összegük
\begin{equation*}
  \sum_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right) - \sum_{k=1}^\infty f_k(x) =
  \sum_{k=1}^\infty g_k(x)
\end{equation*}
is abszolút, illetve egyenletesen konvergens $I$-n. De ez ellentmondás, ugyanis a $\sum\limits_{k=1}^\infty g_k(x)$ függvénysorról azt tettük fel, hogy nem abszolút, illetve nem egyenletesen konvergens. Tehát a $\sum\limits_{k=1}^\infty \left( f_k(x) + g_k(x) \right)$ függvénysor nem abszolút, illetve nem egyenletesen konvergens az $I$ intervallumon.

\vspace{12pt}
A tételek után tehát azok a trigonometrikus sorok következnek, amelyek két sor összegére bonthatóak.

\begin{pelda}
\label{konvergencia-6}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{4}{k^2} \cos kx - 
  \frac{4\pi}{k} \sin kx \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját.
\end{pelda}

Elõször is alakítsuk át a függvénysort 
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 + 4 \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} -
  4\pi \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}
alakba. 

\noindent
\textbf{Az abszolút konvergencia vizsgálata.}

Az elsõ függvénysorról \aref{absz-konvergencia}. alfejezetben található feladatok mintájára könnyen be\-lát\-ha\-tó, hogy abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A második sor konstansszorosáról \aref{osszeg-3}. feladatnál beláttuk, hogy az $l\pi$ alakú pontok kivételével nem abszolút konvergens. Tehát \aref{segedtetel}. és \aref{kovetkezmeny}. tételek alapján az eredeti trigonometrikus sor az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens, és más pontokban nem.

\noindent
\textbf{Az egyenletes konvergencia vizsgálata.}

A felbontásnál az elsõ függvénysor egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, a 2. függvénysor pedig \aref{osszeg-3}. feladat alapján csak az olyan intervallumokon egyenletesen konvergens, amelyek nem tartalmaznak $2l\pi$ alakú pontot és végpontjuk sem ilyen alakú. Így ezeken intervallumokon \aref{segedtetel}. és \aref{kovetkezmeny}. tételek alapján az eredeti trigonometrikus sor is egyenletesen konvergens, és csak ezeken az intervallumokon.

\begin{pelda}
\label{konvergencia-7}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{\pi^2}{3} + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k\frac{\cos kx}{k^2} +
  (-1)^k \frac{\sin kx}{k} \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját.
\end{pelda}

Bontsuk fel a trigonometrikus sort két sor összegére!
\begin{equation*}
  \frac{\pi^2}{3} + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{\cos kx}{k^2} +
  4\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}

\noindent
\textbf{Az abszolút konvergencia vizsgálata.}

Az elsõ függvénysort \aref{konvergencia-5}. feladatnál vizsgáltuk, és azt az eredményt kaptuk, hogy abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A második függ\-vény\-sor\-ról \aref{konvergencia-2}. feladatnál megállapítottuk, hogy csak az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens. Így \aref{segedtetel}. és \aref{kovetkezmeny}. tételek alapján az eredeti trigonometrikus sor is csak az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens.

\noindent
\textbf{Az egyenletes konvergencia vizsgálata.}

Az elsõ trigonometrikus sorról tudjuk, hogy egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A második függvénysor pedig \aref{konvergencia-2}. feledat alapján csak az olyan intervallumokon egyenletesen konvergens, amelyek nem tartalmaznak $\pi+2l\pi$ alakú pontot és végpontjuk sem ilyen. Tehát a vizsgált trigonometrikus sor is csak ilyen intervallumokon egyenletesen konvergens \aref{segedtetel}. és \aref{kovetkezmeny}. tételek miatt.

\begin{pelda}
\label{konvergencia-8}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \left( \frac{\cos kx}{k^2} + 
  \frac{1-\pi}{k} \sin kx \right)
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját.
\end{pelda}

Alakítsuk át a trigonometrikus sort!
\begin{equation*}
  \frac{4}{3}\pi^2 - 2\pi + 1 + 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos kx}{k^2} + 
  4 (1-\pi) \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k}
\end{equation*}

\noindent
\textbf{Az abszolút konvergencia vizsgálata.}

Az elsõ sorról \aref{konvergencia-6}. feladatnál megállapítottuk, hogy abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A második sor konvergenciáját \aref{konvergencia-3}. feladatnál vizsgáltuk, és azt kaptuk, hogy csak az $l\pi$ alakú pontokban abszolút konvergens. Tehát az eredeti trigonometrikus sor is csak ezekben a pontokban abszolút konvergens.

\noindent
\textbf{Az egyenletes konvergencia vizsgálata.}

Az elsõ függvénysor egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. A második függvénysor az olyan intervallumokon egyenletesen konvergens, amelyek nem tartalmaznak $2l\pi$ alakú pontot és végpontjuk sem ilyen alakú. Így az eredeti trigonometrikus sor is csak ilyen intervallumokon egyenletesen konvergens.