\chapter{Fourier-sorok}
\label{fourier-sorok}

\Aref{egyutthatok}. fejezetben meghatározott Fourier-sorokat az elõzõekben általános tri\-go\-no\-met\-ri\-kus sornak tekintve vizsgáltuk konvergencia szempontjából, és meghatároztuk az összegfüggvényüket. Ebben a fejezetben pedig a Fourier-elmélet tételei segítségével fogjuk konvergenciájukat és összegüket meghatározni. Pontosabban csak egyetlen tételt fogunk felhasználni, a Dirichlet--Jordan-féle tételt (lásd \cite{szokefalvi} 272. old.). Ebben azonban szerepel a korlátos változás fogalma (lásd \cite{szokefalvi} 76. old.), amit még a tétel elõtt definiálni fogunk.

\begin{definicio}
\label{korlatos}
Az $[a,b]$ intervallumon értelmezett $f(x)$ függvényt korlátos vál\-to\-zá\-sú\-nak nevezzük, ha az $[a,b]$ intervallum összes
\begin{equation*}
  a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{i-1} < x_i < \dots < x_n=b
\end{equation*}
beosztásához tartozó
\begin{equation*}
  \sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|
\end{equation*}
összegek az osztópontok számától és eloszlásától független korlát alatt maradnak. 
\end{definicio}

\begin{tetel2}[Dirichlet--Jordan-féle tétel]
\label{jordan}
Legyen a $2\pi$ szerint periodikus, in\-teg\-rál\-ha\-tó $f(x)$ függvény az $[a,b]$ intervallumon korlátos változású. Ekkor
\begin{enumerate}
\item az $(a,b)$ intervallum minden belsõ $x$ pontjában 
\begin{equation*}
s_n(x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}, \textrm{ ha } n \to \infty;
\end{equation*}
\item
valamint ha $f(x)$ $(a,b)$-ben folytonos is, akkor minden $[a+\delta, b-\delta]$ részintervallumon egyenletesen
\begin{equation*}
s_n(x) \to f(x), \textrm{ ha } n \to \infty.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{tetel2}

\Aref{jordan}. tétel alapján tehát azt kell vizsgálni, hogy függvényeink korlátos vál\-to\-zá\-sú\-ak-e, és milyen intervallumokon folytonosak. De mielõtt erre rátérnék, be fogunk vezetni még egy fogalmat, a szakaszonként sima függvény fogalmát.

\begin{definicio}
Az $f(x)$ függvényt akkor nevezzük az $[a,b]$ intervallumon szakaszonként simának, ha van az $[a,b]$ intervallumnak olyan $B_n$ beosztása, hogy minden $[x_{i-1},x_i]$ részintervallumon az $f(x)$ függvény folytonosan differenciálható. (Az $[x_{i-1},x_i]$ végpontjaiban a megfelelõ féloldali folytonosságot, illetve differenciálhatóságot követeljük meg.)
\end{definicio}

A következõ tétel a szakaszonként sima és a korlátos változású függvények kapcsolatáról szól.

\begin{tetel2}
\label{sima}
Minden szakaszonként sima függvény korlátos változású.
\end{tetel2}

\noindent
\textbf{Bizonyítás.}

\textbf{1. lépés.} Elõször tegyük fel, hogy az $f(x)$ függvény folytonosan differenciálható egy $[c,d]$ intervallumon. Vegyük ennek az intervallumnak egy tetszõleges 
\begin{equation*} c=x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{i-1} < x_i < \ldots < x_n=d\end{equation*}
beosztását. Az ehhez tartozó
\begin{equation*} \sum_{i=1}^n |f(x_{i-1}) - f(x_i)| \end{equation*}
összegrõl kell belátni, hogy korlátos. Mivel a függvény differenciálható a $[c,d]$ intervallumon, és így az $[x_{i-1},x_i]$ intervallumon is, ezért alkalmazhatjuk a Lagrange-tételt az $[x_{i-1},x_i]$ intervallumra. Eszerint létezik olyan $\xi_i$ belsõ pont, ahol
\begin{equation*}f(x_{i}) - f(x_{i-1}) = f'(\xi_i) (x_i - x_{i-1}). \end{equation*}
Helyettesítsük ezt be a fenti képletbe:
\begin{eqnarray*}
 \sum_{i=1}^n |f(x_{i-1}) - f(x_i)| &= &
 \sum_{i=1}^n \left| f'(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) \right| =
 \\
 &= &\sum_{i=1}^n \left| f'(\xi_i) \right| (x_i - x_{i-1})
 \end{eqnarray*}

Tudjuk azt is, hogy a differenciálhányados-függvény folytonos a $[c,d]$ intervallumon. Zárt intervallumon folytonos függvény pedig korlátos, tehát létezik olyan $K$ szám, hogy minden $x \in [c,d]$-re:
\begin{equation*}
  f'(x) \le K.
\end{equation*}
Így speciálisan az is teljesül, hogy minden $i$ esetén:
\begin{equation*}
  f'(\xi_i) \le K. 
\end{equation*}
Becsüljük ezzel felülrõl a kérdéses összeget:
\begin{eqnarray*}
 \sum_{i=1}^n |f(x_{i-1}) - f(x_i)| &= &
 \sum_{i=1}^n \left| f'(\xi_i) \right| (x_i - x_{i-1}) \le
 \\
 &\le &\sum_{i=1}^n K (x_i - x_{i-1}) =
 \\
 &= &K \sum_{i=1}^n (x_i - x_{i-1}) = K (d-c) = K^* .
\end{eqnarray*}

Tehát a $\sum\limits_{i=1}^n |f(x_{i-1}) - f(x_i)|$ összeghez sikerült az osztópontok számától és elhelyezkedésétõl független korlátot találni, vagyis az $f(x)$ függvény a $[c,d]$ intervallumon korlátos változású.

\textbf{2. lépés.} Tegyük fel, hogy az f(x) függvény folytonosan differenciálható a nyitott $(c,d)$ intervallumon, és a végpontokban léteznek a féloldali határértékek (nem feltétlenül egyeznek meg a függvényértékkel), és ezeket tekintve a végpontokban függvényértéknek léteznek a végpontokban a féloldali deriváltak.

A végpontokban a féloldali deriváltakat jelöljük $f(c+0)$-val és $f(d-0)$-val. Definiáljuk az $f_*(x)$ függvényt a $[c,d]$ intervallumon a következõ módon:
\begin{equation*}
  f_*(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
                    f(c+0), &\textrm{ ha } x=c, \\
                    f(x), &\textrm{ ha } c<x<d, \\
                    f(d-0), &\textrm{ ha } x=d.
                  \end{array} \right. 
\end{equation*}
Ekkor a feltételek szerint $f_*(x)$ differenciálható a $[c,d]$ zárt intervallumon. Vizsgáljuk meg, hogy a derivált folytonos-e a $[c,d]$ intervallumon.

A $(c,d)$ intervallumon a derivált megegyezik az eredeti $f(x)$ függvény deriváltjával, ami a feltételek szerint folytonos ezen az intervallumon, tehát $f_*'(x)$ is folytonos itt. A végpontokban írjuk fel a féloldali differenciálhányadost definíció szerint, és használjuk a l'Hospital-szabályt!
\begin{eqnarray*}
  f_*'(c+0) &= &\lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}}
  \frac{f_*(x)-f_*(c)}{x-c} =
  \lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}} \frac{f(x)-f(c+0)}{x-c} =
  \\
  &= &\lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}} 
  \frac{(f(x)-f(c+0))'}{(x-c)'} =
  \lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}} \frac{f'(x)-0}{1-0} =
  \lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}} f'(x) =
  \\
  &= &\lim_{\begin{subarray}{c} x \to c \\ c<x \end{subarray}} f_*'(x)
\end{eqnarray*}
Tehát azt kaptuk, hogy a $c$ végpontban a félérintõ a deriváltak határértéke, azaz $f_*'(x)$ jobbról folytonos a $c$ pontban. Hasonlóan belátható a $d$ végpontra is, hogy
\begin{equation*}
  f_*'(d-0) = \lim_{\begin{subarray}{c} x \to d \\ x<d \end{subarray}} f_*'(x),
\end{equation*}
azaz $f_*'(x)$ balról folytonos a $d$ végpontban. Tehát azt kaptuk, hogy $f_*'(x)$ folytonos a zárt $[c,d]$ intervallumon. Ez pedig azt jeleti, hogy $f_*(x)$ folytonosan differenciálható $[c,d]$-n.

Mivel $f_*(x)$ folytonosan differenciálható $[c,d]$-n, ezért az \textbf{1. lépés} alapján korlátos változású, azaz létezik olyan $K$ korlát, hogy a $[c,d]$ intervallum tetszõleges beosztása esetén:
\begin{equation*}
  \sum_{i=1}^n |f_*(x_{i-1}) - f_*(x_i)| \le K.
\end{equation*}

Most vegyük a $[c,d]$ intervallumnak egy tetszõleges $B_n$ beosztását, és vizsgáljuk az eredeti $f(x)$ függvényhez tartózó összeget!
\begin{eqnarray*}
  \sum_{i=1}^n |f(x_{i-1}) &- &f(x_i)| =
  \\
  &= &|f(c) - f(x_1)| + \sum_{i=2}^{n-1} |f(x_{i-1}) - f(x_i)| + |f(x_{n-1}) - f(d)| \le
  \\
  &\le &|f(c) - f(c+0)| + 
  \\
  & &+ |f(c+0) - f(x_1)| + \sum_{i=2}^{n-1} |f(x_{i-1}) - f(x_i)| +|f(x_{n-1}) - f(d-0)| + 
  \\
  & &+ |f(d-0) - f(d)| =
  \\
  &= &|f(c) - f(c+0)| + \sum_{i=1}^{n} |f_*(x_{i-1}) - f_*(x_i)| + |f(d-0) - f(d)| \le
  \\
  &\le &|f(c) - f(c+0)| + K + |f(d-0) - f(d)| = K^*
\end{eqnarray*}
Tehát sikerült a $\sum\limits_{i=1}^n |f(x_{i-1}) - f(x_i)|$ összegre a $[c,d]$ intrvallum beosztásától függetelen $K^*$ korlátot találni, azaz az $f(x)$ függvény korlátos változású a $[c,d]$ intervallumon.

\textbf{3. lépés.} Tegyük fel, hogy az $f(x)$ függvény szakaszonként sima az $[a,b]$ intervallumon. Ez azt jelenti, hogy létezik az $[a,b]$ intervallumonak olyan 
\begin{equation*}
  a = a_0 < a_1 < \ldots < a_{i-1} < a_i < \ldots < a_k = b
\end{equation*}
beosztása, hogy minden $[a_{i-1},a_i]$ intervallumon az $f(x)$ függvény folytonosan differenciálható (a végpontokban léteznek a megfelelõ féloldali határértékek, és ezt tekintve függvényértéknek, léteznek a megfelelõ féloldali deriváltak is).

Most vegyük az $[a,b]$ intervallumonak egy tetszõleges 
\begin{equation*}
  a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{j-1} < x_j < \ldots < x_n = b
\end{equation*}
beosztását. Ekkor a $\sum\limits_{j=1}^n |f(x_{j-1}) - f(x_j)|$ összegrõl kell belátni, hogy korlátos. 

Egyesítsük a fenti két beosztást, ekkor a következõ beosztást kapjuk:
\begin{equation*}
  a = x^*_0 < x^*_1 < \ldots < x^*_{j-1} < x^*_j < \ldots < x^*_p = b,
\end{equation*}
ahol $\max(k,n) \le p \le k+n-1$. Azt az osztópontot, amelyet $a_i$-bõl kaptunk ($0 \le i \le k$) jelöljük $x^*_{j_i}$-vel, ahol $j_i$ jelenti azt, hogy ez most hányadik osztópont az $x^*_j$-k között, $i$ pedig azt jelöli, hogy hányadik osztópont volt eredetileg az $a_i$-k között.

Ha két beosztást egyesítünk, akkor a vizsgált összeg nem csökkenhet. Tehát:
\begin{eqnarray*}
  \sum_{j=1}^n |f(x_{j-1}) - f(x_j)| &\le &\sum_{j=1}^p |f(x^*_{j-1}) - f(x^*_j)| =
  \\
  &= &\sum_{i=1}^k \sum_{j=j_{i-1}+1}^{j_i} |f(x^*_{j-1}) - f(x^*_j)| \le
  \\
  &\le &\sum_{i=1}^k K_i = K .
\end{eqnarray*}
A becslés során felhasználtuk, hogy a 
\begin{equation*}
  \sum_{j=j_{i-1}+1}^{j_i} |f(x^*_{j-1}) - f(x^*_j)|
\end{equation*}
összeg éppen az $[a_{i-1},a_i]$ intervallumhoz tartozik, amelyet a \textbf{2. lépés} alapján egy $K_i$ korláttal tudunk felülrõl becsülni.

Tehát találtunk egy olyan $K$ korlátot, amely az $[a,b]$ intervallum tetszõleges beosztása esetén korlátozza a $\sum\limits_{j=1}^n |f(x_{j-1}) - f(x_j)|$ összeget. Ez pedig azt jelenti, hogy a szakaszonként sima $f(x)$ függvény az $[a,b]$ intervallumon korlátos változású. Ezzel bebizonyítottuk \aref{sima}. tételt.

\vspace{12pt}
Ha most tételeinket egymás után tesszük, akkor azt kapjuk, hogy ha egy függvény szakaszonként sima, akkor \aref{sima}.tétel alapján tudjuk, hogy korlátos változású is, akkor pedig Fourier-sora \aref{jordan}. tétel szerint a féloldali határértékek számtani közepéhez konvergál, valamint azokon az intervallumokon, ahol folytonos is a függvény, ott Fourier-sora egyenletesen konvergál hozzá. Vagyis azt kell megvizsgálni, hogy függvényeink szakaszonként sima függvények-e, és mely intervallumokon folytonosak.

\begin{feladat}
\label{fourier-1}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_1(x)=\sgn\sin x
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Ezt a függvényt a következõ formulával is megadhatjuk:
\begin{equation*}
  f_1(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                      -1, &\textrm{ ha } -\pi + 2k\pi < x < 2k\pi, \\
                      0, &\textrm{ ha } x = k\pi, \\
                      1, &\textrm{ ha } 2k\pi < x < \pi + 2k\pi.
                   \end{array}
           \right.
\end{equation*}

A függvény az $(l\pi,\pi+l\pi)$ alakú intervallumokon folytonosan differenciálható, és az $l\pi$ alakú pontokban léteznek a jobb és bal oldali határértékek. Ha ezekben a pontokban a megfelelõ féloldali határértéket tekintjük függvényértéknek, akkor léteznek a megfelelõ féloldali deriváltak is. Tehát a függvény szakaszonként sima tetszõleges intervallumon, ha az $l\pi$ alakú pontokat választjuk osztópontoknak. Ekkor \aref{sima}. tétel alapján $f_1(x)$ korlátos változású is ezen az intervallumon, így alkalmazható a Dirichlet--Jordan-tétel. Ennek 2. pontja alapján minden $[l\pi+\delta,\pi+l\pi-\delta]$ intervallumon ($\delta$ tetszõlegesen kicsi pozitív szám) a Fourier-sor egyenletesen konvergál a függvényhez. Valamint az 1. pont szerint az $x=l\pi$ alakú pontokban a Fourier-sor a jobb és bal oldali határértékek számtani közepéhez konvergál, ami jelen esetben
\begin{equation*}
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{-1+1}{2} = 0,
\end{equation*}
amely éppen megegyezik az $x=l\pi$ helyen fölvett függvényértékkel. (Igazából itt két esetet kellene megkülönböztetni, az $x=2l\pi$ és az $x=\pi+2l\pi$ eseteket, de a jobb és bal oldali határértékek egyike mindkét esetben $+1$, másika pedig $-1$.)

Tehát azt az eredményt kaptuk, hogy a Fourier-sor minden pontban a függvényhez konvergál, az $[l\pi+\delta,\pi+l\pi-\delta]$ intervallumokon pedig a konvergencia egyenletes.

\begin{feladat}
\label{fourier-2}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_2(x)=x \textrm{ (ahol $-\pi \le x < \pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

A függvény a $(-\pi+2l\pi,\pi+2l\pi)$ alakú intervallumokon folytonosan differenciálható, a $\pi+2l\pi$ alakú pontokban pedig féloldalról folytonos, ha a megfelelõ féloldali határértéket tekintjük függyényértéknek. Ekkor a végpontokban féloldalról differenciálható is a függvény. Tehát a függvény szakaszonként sima bármely intervallumon. Így \aref{sima}. tétel értelmében korlátos változású, tehát alkalmazható \aref{jordan}. tétel, amelynek 2. pontja alapján a függvény Fourier-sora a $[-\pi+2l\pi+\delta, \pi+2l\pi-\delta]$ alakú intervallumokon ($\delta$ tetszõlegesen kicsi pozitív szám) egyneletesen konvergál a függvényhez. \Aref{jordan}. tétel 1. pontja szerint pedig a Fourier-sor az $x=\pi+2l\pi$ alakú pontokban
\begin{equation*}
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{\pi-\pi}{2} = 0 \textrm{ -hoz}
\end{equation*}
konvergál.

\begin{feladat}
\label{fourier-3}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_3(x)=x \textrm{ (ahol $0 \le x < 2\pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Az elõzõ feladatoknál alkalmazott gondolatmenet most is alkalmazható, amely a\-lap\-ján azt kapjuk, hogy a függvény Fourier-sora a $[2l\pi+\delta,2\pi+2l\pi-\delta]$ alakú intervallumokon egyenletesen konvergál a függvényhez, az $x=2l\pi$ alakú pontokban pedig
\begin{equation*}
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{2\pi+0}{2} = \pi \textrm{ -hez}
\end{equation*}
konvergál.

\begin{feladat}
\label{fourier-4}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_4(x) = |x| \textrm{ (ahol $-\pi \le x \le \pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Ez a függvény is szakaszonként sima, tehát korlátos változású is, de az elõzõ függvényektõl eltérõen, ez a teljes $(-\infty,\infty)$ intervallumon folytonos. Így \aref{jordan}. tétel szerint a függvény Fourier-sora bármely $[a,b]$ zárt intervallumon egyenletesen konvergál a függvényhez.

\begin{feladat}
\label{fourier-5}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_5(x)=x^2 \textrm{ (ahol $-\pi \le x \le \pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Itt is ugyanazt az eredményt kapjuk, mint \aref{fourier-4}. feladatnál, tehát tetszõleges $[a,b] \subset (-\infty,\infty)$ intervallumon a Fourier-sor egyenletesen konvergál a függvényhez.

\begin{feladat}
\label{fourier-6}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_6(x)=x^2 \textrm{ (ahol $0 \le x < 2\pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

A függvény folytonosan differenciálható a $[2l\pi,2\pi+2l\pi]$ alakú intervallumokon, a végpontokban pedig léteznek a félérintõk, ha a megfelelõ féloldali határértéket tekintjük függvényértéknek. Tehát szakaszonként sima a függvény, így \aref{sima}. tétel alapján korlátos változású. Tehát alkalmazható a függvényre a Dirichlet--Jordan-tétel. A függvény a $(2l\pi,2\pi+2l\pi)$ alakú intervallumokon folytonos, tehát Fourier-sora a $[2l\pi+\delta,2\pi+2l\pi-\delta]$ intervallumokon egyenletesen konvergál a függvényhez. Az $x=2l\pi$ alakú pontokban pedig a Fourier-sor összege:
\begin{equation*} 
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{4\pi^2+0}{2} = 2\pi^2.
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{fourier-7}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_7(x)=(x-1)^2 \textrm{ (ahol $-\pi \le x < \pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

A függvény szakaszonként sima, a $(-\pi+2l\pi,\pi+2l\pi)$ alakú intervallumokon pedig folytonos, ezért \aref{sima}. és \aref{jordan}. tételeket alkalmazva kapjuk, hogy a függvény Fourier-sora a $[-\pi+2l\pi+\delta,\pi+2l\pi-\delta]$ intervallumokon egyenletesen konvergál a függvényhez, az $x=\pi+2l\pi$ alakú pontokban pedig a Fourier-sor összege:
\begin{equation*}
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{(\pi-1)^2+(-\pi-1)^2}{2} = \pi^2+1.
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{fourier-8}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_8(x)=(x-1)^2 \textrm{ (ahol $0 \le x < 2\pi$ és $2\pi$ periódussal folytatva)}
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Az elõzõ feladathoz hasonlóan gondolkodva, azt az eredményt kapjuk, hogy a függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez a $[2l\pi+\delta,2\pi+2l\pi-\delta]$ alakú intervallumokon. Az $x=2l\pi$ alalkú pontokban pedig a Fourier-sor az
\begin{equation*}
  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} = \frac{(2\pi-1)^2+(0-1)^2}{2} = 2\pi^2-2\pi+1
\end{equation*}
számhoz konvergál.

\begin{feladat}
\label{fourier-9}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_9(x) = |\cos x|
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Ez a függvény szakaszonként sima és folytonos a valós számok halmazán, tehát Fourier-sora bármely zárt intervallumon egyenletesen konvergál a függvényhez.

\begin{feladat}
\label{fourier-10}
Vizsgáljuk az
\begin{equation*}
  f_{10}(x) = |\sin x|
\end{equation*}
függvény Fourier-sorának a konvergenciáját!
\end{feladat}

Az elõzõ feladathoz hasonlóan ennek a függvénynek a Fourier-sora is bármely zárt intervallumon egyenletesen konergál a függvényhez.

\vspace{12pt}
Láthatjuk, hogy a Fourier-sorok elméletébõl elegendõ volt egyetlen tételt alkalmazni. Ezzel a tétellel meg tudtuk határozni a függvények Fourier-sorának összegét, valamint az egyenletes konvergenciát is tudtuk vizsgálni. Igaz, hogy ez a tétel az abszolút konvergenciáról semmit sem árult el.

A korábbi fejezetekben csak a klasszikus analízis fogalmait és tételeit használtuk fel. De ennek meg is volt az ára. Hosszadalmas, több lépésbõl álló vizsgálatok voltak ezek, melyek során több, hol egyszerûbb, hol bonyolultabb tételt kellett felhasználnunk, mire elértük célunkat. 

De nem hiába dolgoztunk, hiszen a trigonometrikus sorok összegfüggvényeként kapott, $g_i(x)$-szel ($i=1,2,\ldots,10$) jelölt függvények az utolsó fejezetben is megjelentek. Ha jól megfigyeljük, akkor azt látjuk, hogy az $f_i(x)$ függvény Fourier-sora éppen a $g_i(x)$ függvényhez konvergál. Tehát a kétféle módon kapott eredményeink összhangban állnak egymással.

Az egyenletes konvergenciára kapott, két úton elért eredmények is majdnem meg\-egyez\-nek. Eltérés csak \aref{absz-konvergencia}. alfejezet feladatai és a nekik megfelelõ \ref{fourier-4}., \ref{fourier-5}., \ref{fourier-9}. és \ref{fourier-10}., feladatok között tapasztalható. Ugyanis \aref{absz-konvergencia}. alfejezetben a benne sze\-rep\-lõ trigonometrikus sorokról azt állapítottuk meg, hogy egyenletesen konvergensek a valós számok halmazán. Míg a nekik megfelelõ feladatokban a Dirichlet--Jordan-tétel segítségével csak azt kaptuk, hogy ezen Fourier-sorok konvergenciája tetszõleges zárt intervallumon egyenletes. De ez nem ellentmondás, csak a Dirichlet--Jordan-tétellel kapott eredmény egy kicsit gyengébb, mint a másik. Tehát \aref{fourier-sorok}. fejezet mintegy ellenõrzésének tekinthetõ a korábbi fejezeteknek.