\chapter{Fourier-együtthatók}
\label{egyutthatok}

Az analízis módszereit már az ókori görög matematikusok is alkalmazták egyes geometriai problémák megoldására. Pl. \emph{Arkhimédesz} (i.e. 287--212) a parabolaív alatti területet és a gömb térfogatát olyan módszerekkel határozta meg, amelyeket ma az integrálszámítás módszerei közé sorolunk. Ezután egy hosszú szünet következett az analízis fejlõdésében. Majd csak a XVII. század környékén kapott újabb lendületet, fõleg a mechanika által felvetett problémák megoldása kapcsán, \emph{Newton} (1642--1727) és \emph{Leibniz} (1646--1716) munkássága révén. 

A XIII. században és a XIX. század elején az analízis gyors fejlõdésnek indult. Vi\-szont ezzel egyidõben a nem ellégé precíz, egzakt tárgyalás következtében ellentmondások bukkantak fel. Például \emph{Cauchynál} (1789--1857), a sorelmélet egyik megalapozójánál is találhatunk néhány hamis állítást. Õ azt állította, hogy folytonos függvények konvergens sorának összegfüggvénye is folytonos. Erre \emph{Abel} (1802--1829) adott 1826-ban egy ellenpéldát, egy trigonometrikus sort, amelynek összegfüggvénye nem folytonos. Ezt az ellentmondást majd az egyenletes konvergencia fogalma oldotta fel.

A trigonometrikus sorok a csillagászati számításoknál is elõfordultak periodikusságuk miatt. De a trigonometrikus sorok elméletének feljõdésében nagyobb szerepe volt a rezgõ húr problémájának. \emph{Bernoulli} 1753-ban a húr alakjának leírására trigonometrikus sort kapott eredményül. Ezzel \emph{Euler} (1707--1783) nem értett egyet. Szerinte ugyanis a húr kezdeti alakja nemcsak ,,igazi függvény'' lehet, hanem olyan ,,mechanikai görbe'' is, amelynek egyes darabjai közt semmilyen összefüggés nincs, és így ,,egész menetében'' ugyanazzal a trigonometrikus sorral nem írható le.

Fordulatot jelentettek a probléma megoldásában \emph{Fourier} (1768--1830) 1807-tõl megjelenõ dolgozatai, amelyek a hõvezetés elméletével foglalkoztak. Ezekben újból felmerült tetszõleges függvények trigonometrikus sorokkal történõ elõállításának kérdése. \emph{Fourier} azt állította, hogy ilyen elõállítás lehetséges. Ezek az eredmények olyan jelentõsek és a tapasztalattal egyezõek voltak, hogy a kor legkiválóbb matematikusai inkább arra összpontosítottak, hogy ezeket a feltevéseket bizonyítsák, mintsem megcáfolják. Ebbõl alakult ki a Fourier-sorok elmélete.

Ezután a történeti bevezetõ után következzék a már említett trigonometrikus sor definíciója.

\begin{definicio}
Trigonometrikus sornak nevezzük az $\displaystyle{\frac{a_0}{2}} + \sum\limits_{k=1}^\infty \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right)$ alakú függvénysorokat, ahol $a_n$ és $b_n$ tetszõleges valós számsorozatok.
\end{definicio}

A trigonometrikus soroknak egy speciális csoportját alkotják a Fourier-sorok. Ezeket egy elõre adott függvényhez rendeljük hozzá, az $a_n$ és $b_n$ együtthatókat pedig e függvény segítségével határozzuk meg.

\begin{definicio}
Legyen az $f(x)$ függvény $2\pi$ szerint periodikus és Lebesgue-szerint integrálható. Ekkor a következõ formulák szolgáltatják a függvény Fourier-együthatóit:
\begin{eqnarray*}
  a_k &=& \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos {kx} \dd x 
  \textrm{, ahol } k=0,1,2,\dots \ ,
  \\
  b_k &=& \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin {kx} \dd x 
  \textrm{, ahol } k=1,2,\dots \ .
\end{eqnarray*}
Az ezekbõl az együtthatókból alkotott trigonometrikus sort az $f(x)$ függvény Fourier-sorának nevezzük, és a következõ módon jelöljük:
\begin{equation*}
  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right).
\end{equation*}
\end{definicio}

\vspace{12pt}
Ebben a fejezetben néhány függvény Fourier-sorát fogjuk meghatározni, de mielõtt ehhez hozzákezdenénk, vegyük észre, hogy az együtthatók meghatározásánál a $[-\pi,\pi]$ intervallumon kell integrálnunk, amely a $0$ pontra szimmetrikus. Ha ilyen szimmetrikus intervallumon kell egy páratlan függvényt integrálni, akkor az integrál értékére nullát kapunk. Ha pedig páros függvényt kell integrálnunk, akkor elég az intervallum egyik felén integrálni, és a kapott érték kétszeresét venni. Ezt igazolja a következõ kis számolás.

Legyen $a$ tetszõleges pozitív valós szám. Tegyük fel, hogy a $[-a,a]$ intervallumon kell integrálnunk. Legyen a $h(x)$ függvény páratlan, azaz minden $[-a,a]$ intervallumba esõ $x$ valós számra $h(-x)=-h(x)$. Integrálás közben kihasználjuk az integrál intervallum szerinti additivitását, valamint felhasználjuk a helyettesítéses integrálás szabályát.
\begin{eqnarray*}
  \int\limits_{-a}^{a} h(x) \dd x &= &
  \int\limits_{-a}^{0} h(x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x =
  \\
  &= &\int\limits_{0}^{a} h(-x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x =
  \\
  &= &\int\limits_{0}^{a} -h(x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x = 0
\end{eqnarray*}
Tehát, ha a függvény páratlan, akkor az integrálja a $[-a,a]$ intervallumon $0$.

Most legyen a $h(x)$ függvény páros, azaz minden $x \in [-a,a]$ valós számra legyen $h(-x)=h(x)$. Ekkor az integrál:
\begin{eqnarray*}
  \int\limits_{-a}^{a} h(x) \dd x &= &
  \int\limits_{-a}^{0} h(x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x =
  \\
  &= &\int\limits_{0}^{a} h(-x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x =
  \\
  &= &\int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x + \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x = 
  \\
  &= &2 \int\limits_{0}^{a} h(x) \dd x .
\end{eqnarray*}
Tehát, ha a függvény páros, akkor a $[-a,a]$ intervallumon vett integrálja egyenlõ a $[0,a]$ intervallumon vett integráljának kétszeresével.

Ezek után nézzük meg azt, hogy a Fourier-együtthatók meghatározása során milyen $f(x)$ függvény esetén lesz az integrandusz páros, illetve páratlan. Az integranduszban az $f(x)$ függvény és a koszinuszfüggvény, illetve az $f(x)$ függvény és a szinuszfüggvény szorzata szerel. A koszinuszfüggvényrõl tudjuk, hogy páros, a szinuszfüggvényrõl tudjuk, hogy páralan. Tudjuk még azt is, hogy azonos paritású függvények szorzata páros, különbözõ paritású függvények szorzata páratlan.

Legyen most az $f(x)$ függvény $2\pi$ szerint periodikus, Lebesgue-integrálható és páros. Az $a_k$ együtthatók meghatározásánál ezt a páros függvényt kell megszorozni a páros kosziuszfüggvénnyel. Az elõbbiek alapján ekkor páros függvényt kapunk, amelynek integrálja a $[-\pi,\pi]$ intervallumon egyenlõ a $[0,\pi]$ intervallumon vett integráljának két\-sze\-re\-sé\-vel. A $b_k$ együtthatók ki\-szá\-mításánál a páros $f(x)$ és a páratlan szinuszfüggvény szorzatát integráljuk, amely szorzat páratlan függvény, így integrálja a $[-\pi,\pi]$ intervallumon $0$. Mindez képletekkel kifejezve:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \cos kx \dd x,
  \\
  b_k &= &0.
\end{eqnarray*}
Ekkor az $f(x)$ függvény Fourier-sora tiszta koszinuszsor:
\begin{equation*}
  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos kx.
\end{equation*}

Ez után vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az $f(x)$ függvény páratlan. Ekkor éppen fordított a helyzet az elõzõ esethez képest. Ugyanis az $a_k$ együtthatók ki\-szá\-mí\-tá\-sá\-nál a páratlan $f(x)$ és a páros koszinuszfüggvényt kell összeszorozni, amely szorzat páratlan, így a $[-\pi,\pi]$ intervallumon vett integrálja $0$. A $b_k$ együtthatók meghatározásánál pedig a páratlan $f(x)$ és a páratlan szinuszfüggvény szorzatát integráljuk, ez a szorzat páros, így integrálja a $[-\pi, \pi]$ intervallumon egyenlõ a $[0,\pi]$ intervallumon vett integráljának kétszeresével. Ez formulákkal a következõképpen néz ki:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &0,
  \\
  b_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x) \sin kx \dd x.
\end{eqnarray*}
Tehát ekkor az $f(x)$ függvény Fourier-sora tiszta szinuszsor:
\begin{equation*}
  f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kx.
\end{equation*}

Most már tudjuk, hogyan számíthatjuk ki egyszerûbben a Fourier-együtthatókat páros és páratlan függvények esetén. Mielõtt azonban rátérnénk a konkrét függvényekre egy-két megjegyzés következik. 

\vspace{6pt}
\noindent
\textbf{Megjegyzések.}
\begin{enumerate}
\item 
A Fourier-együtthatók meghatározásánál, ha a megadott függvény nem periodikus, akkor leszûkítjük az értelmezési tartományát egy $2\pi$ hosszúságú intervallumra, és az ezen értelmezett függvénydarab ismétlésével periodikussá tesszük a függvényt. 
\item 
Az együtthatók kiszámítása során elõfordul, hogy a függvény hozzárendelési sza\-bá\-lya, és így az integranduszé is, más az intervallum belsõ pontjaiban, és más a végpontokban. De az integrál értéke nem változik, ha az integrandusz értékét véges sok pontban megváltoztatjuk, ezért a végpontokban is használhatjuk azt a képletet, amit a belsõ pontokban.
\item 
A $k$ szám általában a Fourier-együtthatók indexét jelöli, azaz $a_k$ esetén $k$ a $0,1,2,\dots$ számokat, $b_k$ esetén pedig az $1,2,\dots$ számokat jelöli. Az $l$ számot az intervallumok végpontjainak leírásához használjuk, ezért $l$ tetszõleges egész szám lehet. Az $n$ szám legtöbbször a trigonometrikus sorok részletösszegeiben jelenik meg, ezért nemnegatív egész számot fog jelenteni. (Ezek a megkötések a szakdolgozat többi fejezetére is érvényesek.)
\end{enumerate}

A megjegyzések után jöhetnek a konkrét feladatok. Elõször a legegyszerûbb függvényekkel, a polinomokkal fogunk foglalkozni. Ezek között a legegyszerûbb a konstansfüggvény. De ennek Fourier-sora nem túl érdekes, hi\-szen az $a_0$ együttható kivételével az összes többi együtthatója 0. Ezért elsõ függvényünk olyan konstansfüggvény lesz, amely különbözõ intervallumokon különbözõ konstansértéket vesz fel. 

\begin{feladat}
\label{egyutthato-1}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_1(x)=\sgn\sin x
\end{equation*}  
\end{feladat}

Elõször írjuk ki részletesen, hogy milyen értékeket vesz fel a függvény!
\begin{equation*}
  f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
                   1, &\textrm{ha } 2k\pi < x < \pi+2k\pi \\
                   0, &\textrm{ha } x= k\pi \\
                   -1, &\textrm{ha } -\pi+2k\pi < x < 2k\pi
                 \end{array} \right.
\end{equation*}  
Tehát a függvény páratlan, így a Fourier-együtthatók meghatározására a módosított formulákat alkalmazhatjuk. Ez alapján tudjuk, hogy $a_k=0$. A $b_k$ együtthatókat pedig a következõ módon számolhatjuk ki:
\begin{equation*}
  b_k = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_1(x) \sin kx \dd x
\end{equation*}
Itt felhasználjuk 2. megjegyzést, ami alapján:
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin kx \dd x =
  \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{\cos kx}{k} \right]_{0}^{\pi} =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( -\frac{\cos k\pi}{k} + \frac{\cos 0}{k} \right)=
  \frac{2}{k\pi} \left( 1-(-1)^k \right).
\end{eqnarray*}
Ezt írhatjuk a következõ alakban is:
\begin{equation*}
  b_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                  0, &\textrm{ha $k$ páros}, \\
                  \frac{4}{k\pi}, &\textrm{ha $k$ páratlan}.
                \end{array} \right. 
\end{equation*}
Tehát $f_1(x)$ Fourier-sora:
\begin{equation*}
  f_1(x) \sim \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos (2k+1)x}{2k+1}.
\end{equation*}

\vspace{12pt}
A konstansfüggvények után az elsõfokú függvények következnek. Ezek között az $f(x)=x$ a legegyszerûbb. De, mivel ez nem periodikus, valahogy azzá kell tenni. Ezt megtehetjük úgy, hogy a $-\pi$ és $\pi$ közé esõ darabját, illetve a $0$ és $2\pi$ közé esõ darabját ismételjük periodikusan.

\begin{feladat}
\label{egyutthato-2}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_2(x)=x, \textrm{ ahol } -\pi \le x < \pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

Ez a függvény páratlan, ezért $a_k=0$. A $b_k$ együtthatókat pedig a módosított képlet segítségével fogjuk meghatározni, miközben alkalmazzuk a 2. megjegyzést is.
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_2(x) \sin kx \dd x =
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x \sin kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left[ -x\frac{\cos kx}{k} \right]_{0}^{\pi} + 
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\cos kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( -\pi \frac{\cos k\pi}{k} + 0 \frac{\cos 0}{k} \right) + 
  \frac{2}{\pi} \underbrace{\left[ \frac{\sin kx}{k^2} \right]_{0}^{\pi}}_0 =
  (-1)^{k+1} \frac{2}{k}
\end{eqnarray*}
Tehát a következõ Fourier-sort kaptuk eredményül:
\begin{equation*}
  f_2(x) \sim 2 \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{\sin kx}{k}.
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{egyutthato-3}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_3(x)=x, \textrm{ ahol } 0 \le x < 2\pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

Ez a függvény se nem páros, se nem páratlan, tehát az eredeti képletek alapján kell kiszámolni a Fourier-együtthatóit. A függvény periodikussága miatt azonban tet\-szõ\-le\-ges $2\pi$ hosszúságú intervallumon integrálhatunk, ezért most célszerûbb a $[0,2\pi]$ intervallumot választani, mivel itt a függvény éppen $x$. (Itt is alkalmazzuk a 2. meg\-jegy\-zést.) Elõször az $a_k$ együtthatókat számoljuk ki:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_3(x) \cos kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \cos kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \underbrace{\left[ x\frac{\sin kx}{k} \right]_{0}^{2\pi}}_0 -
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\sin kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ \frac{\cos kx}{k^2} \right]_{0}^{2\pi} =
  \frac{1}{\pi} \left( \frac{\cos 2k\pi}{k^2} - \frac{\cos 0}{k^2} \right) = 0 .
\end{eqnarray*}
Mivel számolás közben $k$ a nevezõben szerepelt, ezért a $k=0$ esetre a fenti számolás nem érvényes, azt külön meg kell vizsgálni.
\begin{equation*}
  a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2\pi} = 2 \pi
\end{equation*}

Most jöjjenek a $b_k$ együtthatók!
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_3(x) \sin kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \sin kx \dd x =
  \\
  &=&\frac{1}{\pi} \left[ -x\frac{\cos kx}{k} \right]_{0}^{2\pi} + 
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\cos kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( -2\pi \frac{\cos 2k\pi}{k} + 0 \frac{\cos 0}{k} \right) + 
  \frac{1}{\pi} \underbrace{\left[ \frac{\sin kx}{k^2} \right]_{0}^{2\pi}}_0 = -\frac{2}{k}
\end{eqnarray*}
Tehát a következõ Fourier-sort kaptuk eredményül:
\begin{equation*}
  f_3(x) \sim \pi - 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}.
\end{equation*}

\vspace{12pt}
Egyszerû függvény még az $|x|$ is. Eszünkbe juthat, hogy ezt is kétféleképpen tehetjük periodikussá, mint az elõzõ $x$ függvényt. De, ha a $[0,2\pi)$ intervallumon értelmezett részét ismételjük periodikusan, akkor éppen az $f_3(x)$ függvényt kapjuk. Tehát ennek a függvénynek csak azt a változatát vizsgáljuk, amikor a $-\pi$ és $\pi$ közötti részét ismételjük.

\begin{feladat}
\label{egyutthato-4}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
 f_4(x) = |x|, \textrm{ ahol } -\pi \le x \le \pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

Ez a függvény páros, tehát a $b_k$ együtthatók mindegyike $0$. Az $a_k$ együtthatókat pedig a következõ módon határozhatjuk meg:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_4(x) \cos kx \dd x=
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x \cos kx \dd x=
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \underbrace{\left[ x\frac{\sin kx}{k} \right]_{0}^{\pi}}_0 - 
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left[ \frac{\cos kx}{k^2} \right]_{0}^{\pi} = 
  \frac{2}{k^2\pi} \left( (-1)^k - 1 \right) .
\end{eqnarray*}
Mivel $k$ a nevezõben szerepelt, ezért ez a formula nem érvényes $k=0$ esetén. Tehát $a_0$-t külön kell kiszámolni.
\begin{equation*}
  a_0 = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x \dd x = 
  \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \pi
\end{equation*}
Összefoglalva, $a_k$-ra a következõt kaptuk:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                \pi, & \textrm{ha } k=0, \\
                0, & \textrm{ha $k$ páros és } k\ne0, \\
                -\frac{4}{k^2\pi}, & \textrm{ha $k$ páratlan}.
                \end{array}\right.
\end{equation*}
Tehát $f_4(x)$ Fourier-sora:
\begin{equation*}
  f_4(x) \sim \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2}.
\end{equation*}

\vspace{12pt}
Az elsõfokú függvények után következzenek a másodfokúak! Ezek közül a leg\-egy\-sze\-rûbb az $x^2$. Az elsõfokú függvényekhez hasonlóan ezt a függyvényt is többféleképpen periodikussá tehetjük.

\begin{feladat}
\label{egyutthato-5}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
  \begin{equation*}
    f_5(x)=x^2 \textrm{, ahol } -\pi \le x \le \pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
  \end{equation*}
\end{feladat}

Mivel ez a függvény páros, így máris tudjuk, hogy $b_k=0$. Az $a_k$ együtthatókra pedig a következõt kapjuk:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_5(x) \cos {kx} \dd x = 
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x^2 \cos {kx} \dd x = 
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \underbrace{\left[ x^2 \frac{\sin kx}{k} \right]_{0}^{\pi}}_0 -
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} 2x \frac{\sin kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{4}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x \frac{-\sin kx}{k} \dd x =
  \frac{4}{\pi} \left[ x \frac{\cos kx}{k^2} \right]_{0}^{\pi} -
  \frac{4}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\cos kx}{k^2} \dd x =
  \\
  &= &\frac{4}{\pi} \left[ x \frac{\cos kx}{k^2} \right]_{0}^{\pi} -
  \frac{4}{\pi} \underbrace{\left[ \frac{\sin kx}{k^3} \right]_{0}^{\pi}}_{0} =
  \\
  &= &\frac{4}{\pi} \left( \pi \frac{\cos k\pi}{k^2} - 0 \frac{\cos 0}{k^2} \right) =
  \frac{4}{k^2} (-1)^k .
\end{eqnarray*}
Mivel integrálás közben a $k$ a nevezõben is elõfordult, ezért ez a formula csak $k=1,2,\dots$ egész számokra igaz. A $k=0$ esetet külön meg kell vizsgálni.
\begin{equation*}
  a_0 = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} x^2 \dd x = 
  \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} =
  \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) =
  \frac{2}{3} \pi^2
\end{equation*}
Vagyis az $a_k$ együtthatók:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                   \frac{2}{3} \pi^2, &\textrm{ha } k=0, \\
                   \frac{4}{k^2} (-1)^k, &\textrm{ha } k=1,2,\dots \ .
                \end{array} \right.
\end{equation*}
Tehát az $f_5(x)$ függvény Fourier-sora:
\begin{equation*}
  f_5(x) \sim \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos kx}{k^2} .
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{egyutthato-6}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_6(x)=x^2, \textrm{ ahol } 0 \le x < 2\pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

Ez a függvény se nem páros, se nem páratlan. Így az együtthatók meghatározásánál az eredeti képleteket kell használni. A 2. megjegyzés alapján integrálás közben az $f_6(x)$ függvényt az egész $[0,2\pi]$ intervallumon tekinthetjük $x^2$-nek.

\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_6(x) \cos kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x^2 \cos kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \underbrace{\left[ x^2 \frac{\sin kx}{k} \right]_{0}^{2\pi}}_0 -
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \frac{\sin kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left[ x \frac{\cos kx}{k^2} \right]_{0}^{2\pi} -
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\cos kx}{k^2} \dd x =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left(2\pi \frac{\cos 2k\pi}{k^2} - 0 \frac{\cos 0}{k^2} \right) -
  \frac{2}{\pi} \underbrace{\left[ \frac{\sin kx}{k^3} \right]_{0}^{2\pi}}_0 = 
  \frac{4}{k^2}
\end{eqnarray*}
Mivel $k$ a nevezõben szerepelt, ezért a $k=0$ esetet, vagyis $a_0$-t külön kell kiszámolni.
\begin{equation*}
  a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x^2 \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{8}{3} \pi^2
\end{equation*}
Tehát az $a_k$ együtthatók:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                   \frac{8}{3} \pi^2, &\textrm{ha } k=0, \\
                   \frac{4}{k^2}, &\textrm{ha } k=1,2,\dots \ .
                \end{array} \right.
\end{equation*}

Most következzenek a $b_k$ együtthatók!
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_6(x) \sin kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x^2 \sin kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ -x^2\frac{\cos kx}{k} \right]_{0}^{2\pi} +
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \frac{\cos kx}{k} \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( -(2\pi)^2 \frac{\cos 2k\pi}{k} + 0^2 \frac{\cos 0}{k} \right) +
  \frac{2}{\pi} \underbrace{\left[x \frac{\sin kx}{k^2} \right]_{0}^{2\pi}}_0 - 
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\sin kx}{k^2} \dd x =
  \\
  &= &-\frac{4\pi}{k} + \frac{2}{\pi} \underbrace{\left[ \frac{\cos kx}{k^3} \right]
  _{0}^{2\pi}}_0 = -\frac{4\pi}{k}
\end{eqnarray*}
Tehát $f_6(x)$ Fourier-sora a következõ:
\begin{equation*}
  f_6(x) \sim \frac{4}{3} \pi^2 + 
  \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{4}{k^2} \cos kx - \frac{4\pi}{k} \sin kx \right) .
\end{equation*}

\vspace{12pt}
Hogy ne csak mindig a legegyszerûbb polinomokat vizsgáljuk, most következzen az $(x-1)^2$ másodfokú függvény. Ezt is kétféleképpen terjesztjük ki a valós számok halmazára.

\begin{feladat}
\label{egyutthato-7}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
 f_7(x)=(x-1)^2 \textrm{, ahol } -\pi \le x < \pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

A Fourier-együtthatókat az eredeti képletek segítségével kell meghatározni, mivel a függvény se nem páros, se nem páratlan. Az $a_k$ együtthatókra a következõt kapjuk:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_7(x) \cos {kx} \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)^2 \cos {kx} \dd x = 
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x^2-2x+1) \cos {kx} \dd x = 
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos {kx} \dd x -
  2\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} x \cos {kx} \dd x +
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos {kx} \dd x .
\end{eqnarray*}
Az elsõ integrál éppen \aref{egyutthato-5}. feladat, a második integrál pedig éppen \aref{egyutthato-2}. feladat $a_k$ együtthatója. A harmadik integrál, ha $k\ne 0$:
\begin{eqnarray*}
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos {kx} \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin kx}{k} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0.
\end{eqnarray*}
Ha pedig $k=0$, akkor:
\begin{eqnarray*}
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} 1 \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \left[ x \right]_{-\pi}^{\pi} = 2.
\end{eqnarray*}
Ha ezeket összeadjuk, akkor az $a_k$ együtthatókra a következõ képletet kapjuk:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                   \frac{2}{3} \pi^2 + 2, &\textrm{ha } k=0, \\
                   \frac{4}{k^2} (-1)^k, &\textrm{ha } k=1,2,\dots \ .
                \end{array} \right.
\end{equation*}

Most a $b_k$ együtthatók kiszámítása következik. Ezt is visszavezetjük korábbi feladatokra.
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f_7(x) \sin {kx} \dd x = 
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)^2 \sin {kx} \dd x = 
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin {kx} \dd x -
  2\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} x \sin {kx} \dd x +
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin {kx} \dd x 
\end{eqnarray*}
Az elsõ integrál \aref{egyutthato-5}. feladat, a második integrál \aref{egyutthato-2}. feladat $b_k$ együtthatója, a harmadik integrál pedig 0, mivel páratlan függvényt integrálunk a $[-\pi,\pi]$ intervallumon. Ezeket összeadva azt kapjuk, hogy
\begin{equation*}
  b_k = (-1)^k \frac{4}{k} .
\end{equation*}

Tehát az $f_7(x)$ függvény Fourier-sora:
\begin{equation*}
  f_7(x) \sim \frac{\pi^2}{3} + 1 + 4 \sum_{k=1}^\infty 
  \left( (-1)^k \frac{\cos kx}{k^2} + (-1)^k \frac{\sin kx}{k} \right) .
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{egyutthato-8}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_8(x)=(x-1)^2, \textrm{ ahol } 0 \le x < 2\pi \textrm{ és $2\pi$ periódussal folytatva.}
\end{equation*}
\end{feladat}

Az elõzõ feladat mintájára ezt a feladatot \aref{egyutthato-6}. feladatra és \aref{egyutthato-3}. feladatra vezetjük vissza.
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_8(x) \cos kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} (x-1)^2 \cos kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x^2 \cos kx \dd x -
  2\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \cos kx \dd x +
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \cos kx \dd x
\end{eqnarray*}
Az elsõ két integrál \aref{egyutthato-6}. és \aref{egyutthato-3}. feladatok $a_k$ együtthatói. A harmadik integrálnál pedig a $[0,2\pi]$ intervallum helyett a $[-\pi,\pi]$ intervallumon is integrálhatunk. Ezt az integrált viszont az elõzõ feladatnál kiszámoltuk:
\begin{eqnarray*}
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \cos kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos {kx} \dd x = 
  \left\{ \begin{array}{ll} 
            2, &\textrm{ha } k=0, \\
            0, &\textrm{ha } k=1,2,\dots \ .
          \end{array} \right.
\end{eqnarray*}
Tehát a megfelelõ mûveletek elvégzése után az $a_k$ együtthatókra a következõ eredményt kapjuk:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                   \displaystyle  
                   \frac{8}{3} \pi^2 -4\pi +2, &\textrm{ha } k=0, \\
                   \frac{4}{k^2}, &\textrm{ha } k=1,2,\dots \ .
                \end{array} \right.
\end{equation*}

A $b_k$ együtthatók meghatározása is hasonlóan történik.
\begin{eqnarray*}
  b_k &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f_8(x) \sin kx \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} (x-1)^2 \sin kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x^2 \sin kx \dd x -
  2\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} x \sin kx \dd x +
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} \sin kx \dd x 
\end{eqnarray*}
Az elsõ két integrál \aref{egyutthato-6}. és \aref{egyutthato-3}. feladatok $b_k$ együtthatói, a harmadik integrál 0. Ezek figyelembevételével a $b_k$ együtthatók:
\begin{equation*}
  b_k = \frac{4(1-\pi)}{k} .
\end{equation*}

Tehát $f_8(x)$ Fourier-sora a következõ:
\begin{equation*}
  f_8(x) \sim \frac{4}{3} \pi^2 -2\pi +1 + 
  4 \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{\cos kx}{k^2} + \frac{1-\pi}{k} \sin kx \right) .
\end{equation*}

\vspace{12pt}
Itt a polinomok Fourier-sorba fejtését abba is hagyjuk. A függvények egy másik nagy csoportját alkotják a trigonometrikus függvények. Ezek közül legegyszerûbbek a $\cos x$ és a $\sin x$ függvények, amelyek Fourier-sorai önmagukkal egyeznek meg. Ezért vegyük az abszolútértéküket, így már érdekesebb lesz a feladat.

\begin{feladat}
\label{egyutthato-9}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_9(x) = |\cos x|
\end{equation*}
\end{feladat}

Mivel a függvény páros, ezért $b_k=0$. Az $a_k$ együtthatókat pedig a módosított formulával tudjuk meghatározni.
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_9(x) \cos kx \dd x =
  \frac{2}{\pi} \left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos kx \dd x -
  \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos kx \dd x \right) =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 
  \left( \cos (k+1)x + \cos (k-1)x \right) \dd x -
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 
  \left( \cos (k+1)x + \cos (k-1)x \right) \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin (k+1)x}{k+1} + 
  \frac{\sin (k-1)x}{k-1}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -
  \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin (k+1)x}{k+1} + 
  \frac{\sin (k-1)x}{k-1}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin (k+1)\frac{\pi}{2}}{k+1} + 
  \frac{\sin (k-1)\frac{\pi}{2}}{k-1} -
  \frac{\sin (k+1)0}{k+1} -
  \frac{\sin (k-1)0}{k-1} \right) -
  \\
  && -\frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin (k+1)\pi}{k+1} + 
  \frac{\sin (k-1)\pi}{k-1} -
  \frac{\sin (k+1)\frac{\pi}{2}}{k+1} -
  \frac{\sin (k-1)\frac{\pi}{2}}{k-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin (k+1)\frac{\pi}{2}}{k+1} + 
  \frac{\sin (k-1)\frac{\pi}{2}}{k-1} \right)
\end{eqnarray*}
Ha $k$ páratlan, akkor $k-1$ és $k+1$ páros. Ha egy páros számmal szorozzuk meg $\frac{\pi}{2}$-t, akkor $\pi$-nek egész számú többszörösét kapjuk, itt pedig a szinuszfüggvény értéke $0$. Tehát páratlan $k$ esetén $a_k=0$.
Páros $k$ esetén újabb két esetet kell megkülönböztetni, az egyik eset az, amikor $k$ 4-gyel is osztható, a másik eset, amikor 4-gyel osztva 2-t ad maradékul.

Ha $k=4m$ alakú, akkor:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(4m+1)\frac{\pi}{2}}{4m+1} + 
  \frac{\sin(4m-1)\frac{\pi}{2}}{4m-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(2m\pi+\frac{\pi}{2})}{4m+1} + 
  \frac{\sin(2m\pi-\frac{\pi}{2})}{4m-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{4m+1} + 
  \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{4m-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{4m+1} + \frac{-1}{4m-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{-4}{\pi(16m^2-1)} = \frac{-4}{\pi(k^2-1)} .
\end{eqnarray*}

Ha $k=4m+2$ alakú, akkor:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(4m+3)\frac{\pi}{2}}{4m+3} + 
  \frac{\sin(4m+1)\frac{\pi}{2}}{4m+1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(2m\pi+\frac{3\pi}{2})}{4m+3} + 
  \frac{\sin(2m\pi+\frac{\pi}{2})}{4m+1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin \frac{3\pi}{2}}{4m+3} + 
  \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{4m+1} \right) =
  \\
  &= &\frac{2}{\pi} \left( \frac{-1}{4m+3} + \frac{1}{4m+1} \right) =
  \\
  &= &\frac{4}{\pi(16m^2+16l+3)} = \frac{4}{\pi((4m+2)^2-1)} = \frac{4}{\pi(k^2-1)} .
\end{eqnarray*}

Számolás közben a $k-1$ és a $k+1$ elõfordult a nevezõben. Nevezõben pedig nem szerepelhet $0$. Ezért a fenti számítások csak akkor igazak, ha $k\ne-1$ (ez teljesül) és $k\ne1$. Így $a_1$-et külön kell meghatároznunk.
\begin{eqnarray*}
  a_1 &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} |\cos x| \cos x \dd x =
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \dd x -
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos^2 x \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos 2x + 1 \right) \dd x -
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos 2x + 1 \right) \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin 2x}{2} + x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -
  \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin 2x}{2} + x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin 2\frac{\pi}{2}}{2} + \frac{\pi}{2} -
  \frac{\sin 0}{2} - 0 \right) -
  \frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin 2\pi}{2} + \pi -
  \frac{\sin 2 \frac{\pi}{2}}{2} - \frac{\pi}{2} \right) = 0
\end{eqnarray*}
Tehát $a_k$-ra a következõt kaptuk:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                0, & \textrm{ha $k$ páratlan}, \\ 
                -\frac{4}{\pi(k^2-1)}, & \textrm{ha $k$ 4-gyel osztható}, \\
                \frac{4}{\pi(k^2-1)}, & \textrm{ha $k$ 4-gyel osztva 2-t ad maradékul} .
                \end{array}\right.
\end{equation*}
Vagyis $f_9(x)$ Fourier-sora a következõ:
\begin{equation*}
  f_9(x) \sim\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}.
\end{equation*}

\begin{feladat}
\label{egyutthato-10}
Határozzuk meg a következõ függvény Fourier-sorát!
\begin{equation*}
  f_{10}(x) = |\sin x|
\end{equation*}
\end{feladat}

Mivel a függvény páros, ezért $b_k=0$. Az $a_k$ együtthatókat pedig a következõ módon számíthatjuk ki:
\begin{eqnarray*}
  a_k &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_{10}(x) \cos kx \dd x =
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin x \cos kx \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \big( \sin (k+1)x - \sin (k-1)x \big) \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos (k+1)x}{k+1} + 
  \frac{\cos (k-1)x}{k-1}\right]_{0}^{\pi} =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos (k+1)\pi}{k+1} + \frac{\cos (k-1)\pi}{k-1} +
  \frac{\cos 0}{k+1} - \frac{\cos 0}{k-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( \frac{(-1)^k}{k+1} - \frac{(-1)^k}{k-1} + 
  \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k-1} \right) =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left( (-1)^k \frac{-2}{k^2-1} + \frac{-2}{k^2-1} \right) =
  -\frac{2}{\pi(k^2-1)} (1+(-1)^k) .
\end{eqnarray*}

Az integrálás során a $k-1$ és a $k+1$ a nevezõben szerepelt. Ezért ez számítás csak $k\ne-1$ és $k\ne1$ esetén igaz. A $k=-1$ esettel nem kell foglalkoznunk, viszont $a_1$-et külön kell meghatároznunk.
\begin{eqnarray*}
  a_1 &= &\frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f_{10}(x) \cos x \dd x =
  \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin x \cos x \dd x =
  \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin 2x \dd x =
  \\
  &= &\frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_{0}^{\pi} =
  \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos 2\pi}{2} + \frac{\cos 0}{2} \right) = 0
\end{eqnarray*}
Vagyis $a_k$-ra a következõt kaptuk:
\begin{equation*}
  a_k = \left\{ \begin{array}{ll}
                0, & \textrm{ha $k$ páratlan}, \\ 
                -\frac{4}{\pi(k^2-1)}, & \textrm{ha $k$ páros} .
                \end{array}\right.
\end{equation*}
Tehát $f_{10}(x)$ Fourier-sora:
\begin{equation*}
  f_{10}(x) \sim \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}.
\end{equation*}

Ezzel meghatároztuk tíz függvény Fourier-sorát. A további fejezetekben ezen  trigonometrikus sorok konvergenciáját és összegfüggvényét fogjuk vizsgálni különbözõ módszerekkel, különbözõ tételek felhasználásával.