\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós\chapter{Abszolút konvergens trigonometrikus sorok}
\label{abszolut}

Ebben a fejezetben abszolút konvergens trigonometrikus sorok fognak szerepelni. Az elsõ alfejezetben megvizsgáljuk a konvergenciájukat, majd a második alfejezetben meghatározzuk az összegüket.

\input{absz-konvergencia}
\input{absz-osszeg}s szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\