\section{A konvergencia vizsgálata}
\label{absz-konvergencia}

A konvergencia vizsgálatához most a következõ tételt fogjuk felhasználni (lásd \cite{leindler} 382. old.).

\begin{tetel}[Majoránskritérium]
\label{majorans}
Ha a $\sum\limits_{k=1}^\infty {c_k}$ számsor konvergens, és minden $k$ természetes számra és minden $x\in (a,b)$-re teljesül, hogy $\left| f_k(x)\right|\le c_k$, akkor a $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens az $(a,b)$ intervallumon.
\end{tetel}

A trigonometrikus sorok vizsgálata során tehát keresni fogunk egy olyan számsort, amely majorálja õket. Ekkor a tétel értelmében a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens az adott intervallumon. Ezután \aref{folytonos}. tétel segítségével az összegfüggvényrõl megállapíthatjunk azt is, hogy folytonos.

Most már kezünkben vannak azok az eszközök, amelyekkel vizsgálni tudjuk a következõ függvénysorokat.

\begin{pelda} 
\label{konvergencia-4}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Ahhoz, hogy alkalmazni tudjuk \aref{majorans}. tételt, keresnünk kell egy számsort, ami majorálja a függvénysort. Erre megfelelõ az $\frac{1}{k^2}$ sorozat. Ugyanis minden $k$ természetes számra és minden $x$ valós számra fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2} \right| \le \frac{1}{(2k+1)^2} \le \frac{1}{k^2} .
\end{equation*}
A $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ számsorról tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel szerint a
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2}
\end{equation*}
trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfüggvényét jelöljük $g_4(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_4(x)=\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\cos (2k+1)x}{(2k+1)^2}
\end{equation*}

Mivel a függvénysor egyenletesen konvergens a valós számok halmazán és folytonos függvényekbõl áll, ezért \aref{folytonos}. tétel alapján összegfüggvénye, $g_4(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\begin{pelda} 
\label{konvergencia-5}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos kx}{k^2}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Majoráljuk a függvénysort a következõ módon. Minden $k$ természetes számra és minden $x$ valós számra fennáll, hogy:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos kx}{k^2} \right| \le \frac{1}{k^2} .
\end{equation*}
Tehát találtunk egy konvergens számsort, amely majorálja a függvénysort. Így \aref{majorans}. tétel alapján a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfüggvényét jelöljük $g_5(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_5(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos kx}{k^2}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján a $g_5(x)$ függvény folytonos a valós számok halmazán.

\begin{pelda}
\label{konvergencia-9}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Minden $x$ valós szám és $k = 2, 3, 4, \dots$ esetén fennáll a következõ majorálás:
\begin{equation*}
  \left| (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát a trigonometrikus sort majorálja a négyzetszámok reciprokaiból álló sor, amelyrõl tudjuk, hogy konvergens. Így \aref{majorans}. tétel miatt a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_9(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_9(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}

\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_9(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\begin{pelda} 
\label{konvergencia-10}
Vizsgáljuk a
\begin{equation*}
  \frac{2}{\pi}- \frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
trigonometrikus sor konvergenciáját!
\end{pelda}

Az elõzõ feladathoz hasonlóan $k = 2, 3, 4, \dots$ és minden $x$ valós szám esetén fennáll a következõ egyenlõtlenség:
\begin{equation*}
  \left| \frac{\cos 2kx}{4k^2-1} \right| \le \frac{1}{4k^2-1} 
  \le \frac{1}{4k^2-4} \le \frac{1}{4}\frac{1}{k^2-1} 
  \le \frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2} .
\end{equation*}
Tehát \aref{majorans}. tétel szerint a trigonometrikus sor abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán. Összegfügvényét jelöljük $g_{10}(x)$-szel!
\begin{equation*}
  g_{10}(x)= \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}
\end{equation*}
\Aref{folytonos}. tétel alapján $g_{10}(x)$ folytonos a valós számok halmazán.

\vspace{6pt}
Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az ebben az alfejezetben vizsgált trigonometrikus sorok mindegyike abszolút és egyenletesen konvergens a valós számok halmazán, ezen kívül összegfüggvényük folytonos.
