A tetraéder súlypontja
Induljunk ki a Descartes-féle 3 dimenziós derékszögű koordináta-rendszerből!
Vegyünk egy szabályos tetraédert, melynek csúcsai legyenek
és
, a koordináta-rendszer origóját jeöljük
-val, s az
-ból a csúcsokba mutató vektorokat jelöljük rendre
vektorokkal.
Tudjuk, hogy a tetraéder lapjait alkotó háromszögek
súlypontjaiba mutató vektorok rendre
A tetraéder súlypontját az
szakaszok metszéspontjaként definiáljuk, meggondolható, hogy ezeknek
a szakaszoknak valóban van metszéspontjuk, mégpedig egyetlen egy.
Jelöljük ezt a pontot
-sel.
Mivel
illeszkedik az
szakaszra, előállítható
alakban, ahol
és
közötti valós szám. Hasonlóan,
miatt előállítható
alakban
is (
). De
és
,
vagyis a fentiek alapján az
és az
egyenletekhez jutunk. A jobb oldalakat egyenlővé téve az
egyenlőség adódik, amelyben minden egyes vektort egy oldalra rendezve
az
összefüggést kapjuk. Ez
alakba is írható. Az
pont, továbbá az
,
és
vektorok általános helyzetben nem esnek egy síkba,
mivel a középső vektor éppen a
oldal felezőpontja (nagyon speciális
esetben előfordulhat, hogy egy síkba esnek). Emiatt általában ezen
három vektor lineáris kombinációja (vagy másképpen: súlyozott
összege) csak úgy lehet a nullvektor, ha a súlyok mindegyike 0. Ebből
pedig az adódik, hogy -- mivel
--
, továbbá -- például
miatt
. Ebből világosan látszik,
hogy az
pont éppen negyedeli a tetraéder súlyvonalait.
A fentiek alapján most már az is látszik, hogy
azaz a tetraéder súlypontjába mutató vektor éppen a csúcsokba mutató
vektorok átlaga. (Vegyük észre, hogy sehol sem használtuk ki a tetraéder
szabályos voltát, tehát eredményünk általánosnak is tekinthető, tetszőleges
tetraéderre. A képlet pedig abban az esetben is ,,működik'', ha
az
, illetve az
,
és
vektorok egy síkba esnének.) Ha a kapott eredményt
összevetjük a két pont (szakasz) illetve három pont (háromszög) súlypontjára
kapott képletekkel, könnyen általánosíthatunk:
Tetszőleges homogén poliéder súlypontját meghatározhatjuk úgy,
hogy a csúcsokba mutató vektoroknak a számtani közepét vesszük.
A tetraéder súlypontja
This document was generated using the
LaTeX2HTML translator Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996,
Nikos Drakos,
Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999,
Ross Moore,
Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
The command line arguments were:
latex2html -split 0 -nonavigation tetraeder.tex
The translation was initiated by Kovacs Zoltan on 2004-03-28
Kovacs Zoltan
2004-03-28