Teljes indukció

1. Tekintsük a következő táblázatot:

1 = 0 + 1, 2 + 3 + 4 = 1 + 8, 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27, 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64.

Keressük meg azt a szabályosságot, amelyet ezek a példák sugallnak; fejezzük ki alkalmas matematikai jelölésekkel és bizonyítsuk is be. (IA 24/2.)

2. Egyenes vágásokkal a vágások számának függvényében legfeljebb hány részre szeletelhetünk fel egy tortát? (Mi van akkor, ha csak a tortalap síkjára merőlegesen vághatunk? Mi lesz az eredmény a másik esetben, amikor tetszés szerinti (extrém) vágásokat is megengedünk?)

3. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

\frac{1}{1 · 3} + \frac{1}{3 · 5} + \frac{1}{5 · 7} + … + \frac{1}{(2n − 1) · (2n + 1)}. (IA 133/4. (1))

4. Teljes indukcióval mutassuk meg, hogy ha a_{1}, a_{2}, …, a_{n} szigorúan 0 és 1 közé eső valós számok, akkor teljesül a következő egyenlőtlenség: (1 − a_{1}) · (1 − a_{2}) · . . . · (1 − a_{n}) > 1 − a_{1} − a_{2} − … − a_{n}. (IA 135/4. (5))

5. Figyeljük meg, hogy

1 = 1, 1 − 4 = −(1 + 2),

1 − 4 + 9 = 1 + 2 + 3,
1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4).

Keressük meg a fenti példákban rejlő általános törvényszerűséget, fejezzük ki matematikai formában és bizonyítsuk be. (IA 137/1.)

6. Igazoljuk, hogy

∑_{k=1}^{n} k^{4} = \frac{n^{5}}{5} + \frac{n^{4}}{2} + \frac{n^{3}}{3} − \frac{n}{30}.

7. Egy tenisztornán 16 teniszező indult. A kieséses verseny első fordulójában 8–8 versenyző játszott egymás ellen, a második fordulóban a nyertes 4–4 stb. — minden mérkőzésen egyvalaki jutott tovább. A tenisztorna két utolsó mérkőzése az első illetve a harmadik helyért folyt.

(a) Számoljuk ki, összesen hány mérkőzésre került sor!

(b) Hány meccset kéne lejátszani, ha a versenyzők száma 2^{n} volna? (n pozitív egész.)

(c) Hány mérkőzést játszanának le, ha az indulók száma tetszőleges pozitív egész szám lenne? (Biztos-e, hogy a fenti szabályok alapján egyértelmű válasz adható?)

8. Igazoljuk, hogy

(a) \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + … + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} (ASz 447./24. d.),

(b) \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + … + \frac{1}{n^{2}} < 2,

akármilyen pozitív egészet jelentsen is n.

9. Rajzolható-e a négyzetrácsos füzetbe olyan szabályos nyolcszög, amelynek minden csúcsa rácsponton fekszik?

10. Bizonyítsuk be, hogy

(a) 4^{n} + 15n − 1 osztható 9-cel,

(b) 3^{2n+1} + 2^{n+2} osztható 7-tel,

(c) 2^{4n+1} + 3 osztható 5-tel (ASz 448./25.).

ASz = Szendrei János: Algebra és számelmélet (Tk., Bp., 1975, 1993) IA = Pólya György: Indukció és analógia (Gondolat, Bp., 1988)