\magnification\magstep1
\nopagenumbers
\parskip6pt
\proclaim Pete--D\H otsch-t\'etel. Legyen $t\in [0,1]$, 
\'es $X_1$, $Y_1$, $Z_1$ az $XYZ$ h\'aromsz\"og $Y$, $Z$; $Z$, $X$; $X$, $Y$ cs\'ucsai
k\"ozti $(t,1-t)$ s\'ulyoz\'assal kapott pontok.
Az ugyanilyen m\'odon\break
$(1-t,t)$ s\'ulyoz\'assal kapott pontok legyenek $X_2$, $Y_2$ \'es $Z_2$.
Ekkor az $X_1Y_1Z_1$ \'es $X_2Y_2Z_2$
h\'aromsz\"ogek magass\'agpontjait \"osszek\"ot\H o $M_1M_2$ szakasz felez\H opontja az $XYZ$
h\'aromsz\"og
Euler-egyenes\'en fekszik, mely az $M_1M_2$ szakasszal a $t$-t\H ol f\"uggetlen
\'alland\'o sz\"oget z\'ar be.

\proclaim Defin\'\i ci\'o. A fenti sz\"oget 
{\it Pete-f\'ele $\tau$-sz\"ognek} nevezz\"uk.

\noindent
{\bf Bizony\'\i t\'as.}
A probl\'em\'at komplex sz\'amok seg\'\i ts\'eg\'evel fogjuk megoldani.


%K\'et \'all\'\i t\'ast kell igazolnunk. El\H ok\'esz\"uletk\'ent a komplex
%sz\'ams\'\i k geo\-met\-ri\-\'a\-j\'a\-nak egy alapt\'etel\'et,
%s annak k\"ovetkezm\'enyeit \'\i rjuk le.

A {\bf p} ponton \'atmen\H o {\bf n} norm\'alvektor\'u egyenes
egyenlete:
$${\bf z}{\overline{\bf n}}+{\overline{\bf z}}{\bf n}
 = {\bf p}{\overline{\bf n}}+{\overline{\bf p}}{\bf n}{\hbox{.}}\eqno(1)$$
K\'et egyenes metsz\'espontja kiel\'eg\'\i ti az al\'abbi egyenletrendszert:
$$\eqalign{
{\bf z}{\overline{\bf n_1}}+{\overline{\bf z}}{\bf n_1}
 &= {\bf p_1}{\overline{\bf n_1}}+{\overline{\bf p_1}}{\bf n_1}\hbox{,}\cr
{\bf z}{\overline{\bf n_2}}+{\overline{\bf z}}{\bf n_2}
 &= {\bf p_2}{\overline{\bf n_2}}+{\overline{\bf p_2}}
 {\bf n_2}\hbox{,}}\eqno(2)$$
melynek megold\'asa:
$${\bf z}={\left|\matrix{
{\bf p_1}{\overline{\bf n_1}}+{\overline{\bf p_1}}{\bf n_1}&{\bf n_1}\cr
{\bf p_2}{\overline{\bf n_2}}+{\overline{\bf p_2}}{\bf n_2}&{\bf n_2}
}\right|
\over \left|\matrix{
{\overline{\bf n_1}}&{\bf n_1}\cr
{\overline{\bf n_2}}&{\bf n_2}}\right|}\hbox{.}\eqno(3)$$
Ha egy h\'aromsz\"og h\'arom cs\'ucsa {\bf a}, {\bf b} \'es {\bf c}, akkor a
${\bf p_1}={\bf a}$,
${\bf p_2}={\bf b}$,
${\bf n_1}={\bf b}-{\bf c}$,
${\bf n_2}={\bf c}-{\bf a}$
helyettes\'\i t\'essel {\bf z} \'eppen a magass\'agpont. Az
${\bf a}=t{\bf y}+(1-t){\bf z}$,
${\bf b}=t{\bf z}+(1-t){\bf x}$,
${\bf c}=t{\bf x}+(1-t){\bf y}$
helyettes\'\i t\'essel olyan ${\bf m}(t)$ f\"uggv\'enyt kapunk, mely az $XYZ$
h\'aromsz\"og eset\'en \'eppen az $X_1Y_1Z_1$ h\'aromsz\"ogek magass\'agpontjait \'\i rja le 
$t$ v\'altoz\'as\'anak megfelel\H oen.

K\"onnyen l\'athat\'o, hogy (3) jobb oldal\'anak sz\'aml\'al\'oja
harmadfok\'u, nevez\H oje m\'asodfok\'u polinom. Megmutathat\'o, hogy a nevez\H o \'eppen 
$D\cdot(3t^2-3t+1)$ alak\'u, ahol
$$D=\left|\matrix{
{\bf c}({\bf x}-{\bf y})&({\bf x}-{\bf y})\cr
{\bf c}({\bf y}-{\bf z})&({\bf y}-{\bf z})}\right|\hbox{,}\eqno(4)$$
de a bizony\'\i t\'as sor\'an ezt az eredm\'enyt nem sz\"uks\'eges felhaszn\'alnunk.

A r\"ovids\'eg kedv\'e\'ert legyen $N(t)=D\cdot (3t^2-3t+1)$, tov\'abb\'a
$${\bf m}(t)={{\bf e}t^3+{\bf f}t^2+{\bf g}t+{\bf h}\over N(t)}\hbox{.}$$
A $t=0$ esetben ${\bf m}(0)={{\bf h}\over N(0)}$, ami \'eppen az $XYZ$ h\'aromsz\"og
magass\'agpontja.
${\bf m}(t)$ teh\'at \'\i gy is \'\i rhat\'o:
$${\bf m}(t)={\bf m(0)}+{{\bf e'}t^3+{\bf f'}t^2+{\bf g'}t\over N(t)}
\hbox{.}\eqno(5)$$
Az $N(t)=D\cdot (3t^2-3t+1)$ egyenl\H os\'eg alkalmaz\'as\'aval azonnal l\'athat\'o, de
sz\'amol\'as \'utj\'an is ellen\H orizhet\H o, hogy $N(0)=N(1)$.
Mivel ${\bf m}(0)={\bf m}(1)$, ez\'ert
$${\bf e'}+{\bf f'}+{\bf g'}=0\hbox{.}\eqno(6)$$

1.~Megmutatjuk, hogy az
$${{\bf m}(t)+{\bf m}(1-t)}\over{2}$$
pontok egy egyenesen vannak. Kihaszn\'alva az (5) \'es (6) egyenl\H os\'egeket,
rendez\'es ut\'an
$$\eqalign{
{{\bf m}(t)+{\bf m}(1-t)\over 2}&=
{\bf m(0)}+{{\bf e'}\bigl(t^3+(1-t)^3\bigr)+{\bf f'}\bigl(t^2+(1-t)^2\bigr)+
{\bf g'}\bigl(t+(1-t)\bigr)\over 2N(t)}=\cr
&={\bf m(0)}+{{\bf e'}(3t^2-3t)+{\bf f'}(2t^2-2t)+
{\bf e'}+{\bf g'}+{\bf h'}\over 2N(t)}=\cr
&={\bf m(0)}+{{3{\bf e'}+2{\bf f'}\over 2}}\cdot
{{t(t-1)\over N(t)}}\hbox{.}}\eqno(7)$$
A (7) alakzat minden pontja $t$ v\'alaszt\'as\'at\'ol f\"uggetlen\"ul nyilv\'an ugyanarra az
egyenesre esik.
Ha az $XYZ$ h\'aromsz\"og nem szab\'alyos, magass\'agpontja \'es be\'\i rt k\"or\'enek
k\"oz\'eppontja k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o pont lesz. Ezt a k\'et pontot
$${\bf m}(t)={{\bf m}(t)+{\bf m}(1-t)\over 2}$$
a $t=0$ ill.~$t=1-t={1\over 2}$ esetben gener\'alja, teh\'at a (7)
alakzat minden pontja az $XYZ$ h\'aromsz\"og Euler-egyenes\'ere esik. (Szab\'alyos
h\'aromsz\"ognek nincs Euler-egyenese.)

2.~Igazoljuk, hogy az
${{\bf m}(t)-{\bf m}(1-t)}$
szakaszok p\'arhuzamosak. Ism\'et (5)-\"ot \'es (6)-ot haszn\'alva ad\'odik, hogy
$$\eqalign{
{\bf m}(t)-{\bf m}(1-t)&={{\bf e'}\bigl(t^3-(1-t)^3\bigr)+{\bf f'}
\bigl(t^2-(1-t)^2\bigr)+
{\bf g'}\bigl(t-(1-t)\bigr)\over N(t)}=\cr
&={(2t-1)\bigl({\bf e'}(t^2-t)+{\bf e'}+{\bf f'}+{\bf g'}\bigr)\over N(t)}
={\bf e'}\cdot{t(t-1)(2t-1)\over N(t)}\hbox{.}}\eqno(8)$$
Ez \'eppen azt jelenti, hogy az $M_1M_2$ szakaszok ir\'anya p\'arhuzamos
az ${\bf e'}$ komplex sz\'am \'altal meghat\'arozott vektorral.
\hfil $\diamondsuit$\break

\bye