Feladat. Tudjuk, hogy $x,y\in\mathbf{Q}$, továbbá $x^{1/3}+y^{1/3}=1$. Igazolandó, hogy $x^{1/3}$ maga is racionális.

Megoldás. Jelöljük $x^{1/3}$-t $a$-val. Ekkor

$$\begin{eqnarray*} x+y & = & \left(x^{1/3}+y^{1/3}\right)\left(\left(x^{1/3}\righ... ...dot(a^{2}-a\cdot(1-a)+(1-a)^{2})\\ & = & 3a^{2}-3a+1=3a(a-1)+1.\end{eqnarray*}$$

Világos, hogy ha $x$ és $y$ racionális, akkor $x+y$ is az, így $3a(a-1)+1$ is racionális, de akkor $3a(a-1)$ és $a(a-1)$ is az.

Azt fogjuk -- általánosságban -- megmutatni, hogy amennyiben $a(a-1)$ racionális, továbbá $a^{3}$ is, akkor az maga után vonja azt is, hogy $a$ racionális.

Tegyük fel tehát, hogy $a(a-1)$ racionális. Ez azt jelenti, hogy valamely $(p;q)=1$ egész számpárra $a(a-1)=p/q$. Ez ekvivalens a $qa^{2}-qa-p=0$ egyenlettel, melynek gyökei:

$$a_{1,2}=\frac{q\pm\sqrt{q^{2}+4pq}}{2q}.$$

Mindez úgy is fogalmazható, hogy abból a tényből, hogy $a(a-1)$ racionális, következik, hogy $a$ felírható

$$a=\frac{A+B\sqrt{C}}{D}$$ (1)

alakban, ahol $A,\, B,\, C$ és $D$ valamennyien egész számok (speciálisan $A=q$, $B=1$, $C=q^{2}+4pq$ és $D=2q$), sőt, feltehető, hogy $C$ nem négyzetszám (ha a négyzetgyök alatt négyzetszám állna, akkor $B$-t 0-nak választjuk). Vizsgáljuk meg, milyen következményekkel jár, hogy egy ilyen formában felírható $a$ szám köbe is racionális. Ekkor nyilván

$$\begin{eqnarray*} a^{3} & = & \frac{A^{3}+3A^{2}B\sqrt{C}+3AB^{2}C+B^{3}C\sqrt{C... ...\\ & = & \frac{A^{3}+3AB^{2}C+B(3A^{2}+B^{2}C)\sqrt{C}}{D^{3}}.\end{eqnarray*}$$

Mivel $a^{3}$ racionális, ezért $\sqrt{C}$ szorzója nyilvánvalóan 0 kell, hogy legyen. Vagyis $B=0$ vagy $3A^{2}+B^{2}C=0$ mindenképpen fennáll.

Ha $B=0$, akkor (1) szerint $a$ mindenképpen racionális. Tegyük fel most, hogy $3A^{2}+B^{2}C=0$. Beírva $A$, $B$ és $C$ helyére $q$-t, $1$-et és $q^{2}+4pq$-t, a

$$3q^{2}+q^{2}+4pq=0$$

egyenlőséghez jutunk, amiből -- mivel $q\neq0$ -- $p+q=0$ adódik, ami csak úgy lehetséges, ha $p=1$ és $q=-1$ vagy $p=-1$ és $q=1$. De ekkor $C$-re negatív számot, $-3$-at fogunk kapni, ami arra utal, hogy ez az eset (mármint a $3A^{2}+B^{2}C=0$ egyenlőség) nem fordulhat elő.