Érettségi tételek matematikából

2001. január 7.

Valós számok

1. Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján; hogyan határozhatjuk meg? Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója, azaz maradék nélkül meg van bennük.

A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb hatványkitevőre összeszorozzuk. Például:

360 = 2^{3} · 3^{2} · 5

980 = 2^{2} · 5 · 7^{2}

1200 = 2^{4} · 3 · 5^{2}

E három szám legnagyobb közös osztója: 2^{2} · 5 = 20

Magyarázat: Azért 2^{2}, mert a kettes hatványai mindegyik számban szerepelnek, de a legkisebb hatványon a 980-ban. Az 5-ös is mindegyikben szerepel, s a legalacsonyabb hatványon az 1-es kitevővel a 360-ban, és a 980-ban, s a 7-es hatvány csak a 980-ban, a másik kettőben nem, s így nem közös osztó.

2. Mit értünk két, vagy több szám legkisebb közös többszöröseként; hogyan határozhatjuk meg? Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész számm, amely az adott számok mindegyikének osztója. A számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük szereplő összes prímmtényezőt az összes előforduló legmagasabb hatványkitevőre emelve összeszorozzuk. Egyszerűen: a számok mindegyikét összeszorozzuk, és elosztjuk a legnagyobb közös osztóval.

3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két, vagy több szám relatív prím? A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk:

1. Egy osztója van: ebből csak egy szám van, az 1-es.

2. Kettő darab osztója van [1, és önmaga]: ezek a prím, vagy másnéven törzsszámok.

3. Kettőnél több osztója van: ezek az összetett számok. Prímszámok előállítására szolgál a ”Eratosztenész-féle szita”. Euklides bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, s az is bizonyítható, hogy bármilyen ”hézagok” is lehetnek a prímszámok között. Két, vagy több egész szám relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más közös osztója, azaz a legnagyobb közös osztójuk az 1. Két szám akkor is lehet relatív prím, ha összetett, például a 6, és a 35. Az Eratosztenész-féle szita azt jelenti, hogy a felsorolt számok közül [1-től valameddig] kihúzgálom azokat, amelyek 2-vel, 3-mal, n-nel oszthatók, s amelyek nem lettek kihúzva, azok a prím számok. Példaként 100-ig írjuk fel a számokat, s elkezdjük kihuzogatni a 2-vel oszthatóakat, 3-mal oszthatóakat, stb., s csak a 10-ig kell elmennünk, mivel a 10 négyzete adja ki a százat, és ennek megfelelően amit nem húztunk ki, azok mind prím számok.

4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás, és szorzás kommutatív, asszociatív, ill. a szorzás az összeadásra nézve disztributív? Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy a + b = b + a az összeadandók felcserélhetők. A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy a · b = b · a a szorzat értéke nem fog megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük.

Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz az, hogy (a + b) + c = a + (b + c) csoportosíthatunk [átzárójelezhetünk], az összeg értéke nem változik. A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz, hogy (a · b) · c = a · (b · c) átcsoportosítható, s a szorzat értéke nem fog megváltozni. A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti az A, B, C valós számokra, hogy (a + b) · c = a · c + b · c összeget tagonként is szorozhatunk [felbontjuk a zárójeleket].

5. Definiálja az egyenes- és fordított arányosság fogalmát! Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik. Az egyenes arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára. [H a valós számok egy részhalmaza.] fx = ax, ahol az a egy [nem nulla] valós szám. Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja az origón átmenő egyenes. Ha az egyenesen arányos mennyiségek hányadosa állandó, és az összetartozó értékek hányadosa állandó. Az egyenes arányosságra példa az út-idő grafikon: ha hosszabb ideig megy ugyanolyan sebességgel egy tárgy, akkor arányosan több utat fog megtenni. Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára növelve, a másik mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkennie. A fordított arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára, s a H halmaz a valós számok részhalmaza. fx = \frac{c}{x}[c ≠ 0, és valós. Az x sem lehet 0, mert nevezőben nem állhat 0.] Ha H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a függvény grafikonja hiperbola. Az összetartozó értékpárok szorzata állandó. Fordított arányosságra példa a Boil-Mariott törvény, ami a gázok nyomása, és térfogata közti viszonyt mondja, a térfogat, és a nyomás szorzata állandó, azaz ha csökken a térfogat, növekszik a nyomás, ill. ha növekszik a térfogat, csökken a nyomás. [Természetesen ugyanarról a mennyiségű gázról van szó, és nem változik a bentlévő molekulák száma.]

9. Definiálja a racionális szám fogalmát! Racionális számok a két egész szám hányadosaként megadható számok. Ezek \frac{p}{q} alakban felírhatóak, ahol p, és q egész számok, s nyilvánvaló, hogy q ≠ 0, mert nevezőben nem állhat 0. Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők. Pl.: \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{−2}{−3} … Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője relatív prím. A szóbanforgó racionális szám egész szám, ha a legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb számjegyből áll, mint amennyi a tört nevezője. Minden racionális szám felírható véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört, amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról bővebben a mértani sorozatnál lesz szó!]

10. Mi a számelmélet alaptétele? Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok közé, mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl.: 6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 = 1 · 1 · 2 · 3 [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de akkor már nem egyértelmű a felbontás.]

11. Bizonyítsuk be, hogy a \sqrt{2} racionális szám! A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a \sqrt{2} racionális, vagyis felírható \frac{p}{q} alakba, ahol a p, és a q egész számok, és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz legnagyobb közös osztójuk 1. Ez azt jelenti, hogy a \frac{p}{q} tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.

A \sqrt{2} = \frac{p}{q}-val [a feltételünk szerint], s mindkét oldalt négyzetre emelve 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} -et kapunk. q^{2}-tel beszorzunk: 2q^{2} = p^{2}. A bal oldalon 2-es szorzó van, s ennek megfelelően itt páros szám áll, s ez azt jelenti, hogy a jobb oldalon is páros számnak kell állni, vagyis a p^{2} az páros.

Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy ne csak a p^{2} páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú, akkor a p^{2} az 4k^{2} alakú. Ezt beírva az ”eredeti” egyenletünkbe: 2q^{2} = 4k^{2}. Egyszerűsítünk 2-vel: q^{2} = 2k^{2}. Mivel a jobb oldalon 2-es szorzó áll, ha ez páros, és [ugye] egyenlőség van, akkor a q^{2} is páros, tehát a q is páros. Immár a q, és a p is páros, viszont az alapfeltevésünk között az volt, hogy p, és q legyenek relatív prímek, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk tovább egyszerűsíteni. Viszont ha a p, és q is páros, akkor még tudjuk tovább egyszerűsíteni kettővel. Ez által ellentmondás alakult ki, azaz az eredeti indirekt feltevésünk, hogy a \sqrt{2} felírható két egész szám hányadosaként, az megdőlt, ennek megfelelően hamis az ”eredeti” feltevésünk. Ha nem írható fel \frac{p}{q} alakban, akkor irracionális a \sqrt{2}.

Másodfokú kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek

18. Definiálja a következő fogalmakat! A. polinom, B. algebrai tört A. Polinom: Az egyváltozós valós polinom olyan többtagú összeg, amelynek tagjai a változó különböző hatványainak valós számszorosai: a(n)x^{n} + a(n − 1)x^{n−1} + … + a(1)x + a(0), ahol a(0), a(1), …, a(n) adott valós számok, ahol a(n) ≠ 0, és n ≠ 0 természetes szám. A felírt polinom n-ed fokú. B. Az algebrai tört két polinom hányadosa, például: \frac{5x^{4}+4x^{3}+2x+3}{4x^{5}+3x^{2}−1} Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0.

19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet equivalens? Egyenlet: bármely két [egyenlőségjellel] összekötött kifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az alaphalmaza [vagy értelmezési tartománya] számhalmaz. [A nyitott mondat változótól függő állítás.] Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, az egyenlet igazsághalmaza [vagy megoldáshalmaza]. Két egyenlet equivalens, [egyenértékű], ha azonos alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik.

20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! a · x^{2} + b · x + c = 0 , ahol a ≠ 0 [ha 0, akkor x^{2} is 0, s az már nem másodfokú egyenlet] a-t kiemeljük: a · (x^{2} + (\frac{b}{a}) · x + \frac{c}{a}) = 0 A zárójelben lévő részt teljes négyzetté alakítjuk: a · ((x + \frac{b}{2a})^{2} − \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{c}{a}) = 0 Közös nevezőre hozunk: a((x + \frac{b}{2a})^{2} − \frac{b^{2}−4ac}{4a^{2}}) = 0 (x + \frac{b}{2a})^{2} = \frac{b^{2}−4ac}{4a^{2}} Gyököt vonunk: |x + \frac{b}{2a} | = \sqrt{\frac{b^{2}−4ac}{2a}} Abszolútérték felbontása: x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} x = −\frac{b}{2a} ± \frac{\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} x_{1,2} = \frac{−b±\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} Gyöktényezős alakba is írhatjuk: a(x − x_{1})(x − x_{2}) = 0 Szorzat akkor nulla, ha valamelyik szorzótényező nulla, az A nem lehet nulla, tehát az (x − x_{1}), vagy az (x − x_{2}) lehet az, s ebből x = x_{1}, ill. x = x_{2}, innen kaptuk a két gyököt: (x − 3)(x + 4) = 0 Egyik gyök: 3, másik gyök: −4. Mivel a nevezőben nem állhat 0, így a 2a sem lehet az, s ekkor tényleg másodfokú egyenletről beszélünk, s elvégezhető az osztás.

21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán?

A másodfokú egyenlet (ax^{2} + bx + c ,[ahol A nem 0]) diszkriminánsa a gyök alatti mennyiség (b^{2} − 4ac). Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha a diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és az −\frac{b}{2a}. Ezt kétszeres gyöknek is szoktuk nevezni, s ekkor az x_{1} = x_{2}-vel, és a gyöktényezős alak így írható a((x − x_{1})^{2}) = 0. Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke, nem tudjuk megoldani a valós számok halmazán...

22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyöke, és együtthatói közötti összefüggéseket! Az ax^{2}+bx+c = 0 [A nem nulla] alakban felírt másodfokú egyenlet két gyökének összegét (x_{1}+x_{2})-t ha felírjuk: \frac{−b+\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} + \frac{−b−\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} = −\frac{2b}{2a} Kettővel egyszerűsítve: x_{1} + x_{2} = −\frac{b}{a} Ha a két gyök szorzatát vesszük: x_{1}x_{2} = \frac{−b+\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} \frac{−b−\sqrt{b^{2}−4ac}}{2a} ”számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel”: \frac{(−b)^{2}−(b^{2}−4ac)}{4a^{2}} = \frac{b^{2}−b^{2}+4ac}{4a^{2}} x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} Összefoglalva: a Viéte [viét] formulák [Francia matematikus] közül a két legfontosabb: x_{1} + x_{2} = −\frac{b}{a} x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} A két gyök összege [az elsőfokú tag együtthatója, és a másodfokú tag együtthatója] hányadosának a (−1)-szerese, a két gyök szorzata pedig a nullad fokú tag [konstans], és másodfokú tag hányadosa.

Hatványozás, és azonosságai, exponenciális függvényegyenlet

6. Hogyan definiáljuk az A valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát? a^{n} egy olyan N tényezős szorzat, amelynek minden szorzótényezője A. A tetszőleges valós szám, az N pedig pozitív egész szám. a^{n} = a · a · a · ... [N-szer] A-t úgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az N-et pedig úgy, hogy a hatvány kitevője, és az a^{n}-t pedig a hatvány mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy röviden csak hatványnak szoktuk mondani.

7. Igazolja a következő azonosságokat: A, B valós számok, n, k pozitív egészek. (a · b)^{n} = a^{n} · b^{n} Bizonyítása: Az (a·b)-ből n darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az A szorzótényezőket, és a B szorzótényezőket egymás mellé írva n darab A szorzótényező, és n darab szorzótényező van. Az n darab A szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy a^{n}, a b darab n szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy b^{n}, tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is. (\frac{a}{b})^{n} az azt jelenti, hogy (\frac{a}{b}) · (\frac{a}{b}) · (\frac{a}{b}) · ... [N-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban N darab szorzótényező van, amely a^{n} formában is felírható, a nevezőben n darab b szorzótényező van, amely b^{n} formában írható. Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük. Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre. (a^{n})^{k} bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel. Ez az azonosság azt jelenti, hogy az (a^{n})-t k-szor szorozzuk össze: (a^{n}) · (a^{n}) · (a^{n}) · ... [K-szor]. Az (a^{n})-t felírhatjuk úgy is: a · a · a · a · ... [N-szer]. Tehát, összesen k-szor van ilyen csoportunk, tehát nk darab a-t szorzunk össze: a^{nk}.

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.

8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét! Mivel egyenlő gyök a^{2}? Egy nem negatív [a ≥ 0] valós szám négyzetgyöke [\sqrt{a}] az az egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a :

\sqrt{a^{2} = a}

Abszolútértékben \sqrt{a^{2}}-nek minden valós a-ra értelme van.

114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezett x-hez hozzárendeljük az a^{x} függvényt! Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. A függvény minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Az inverze, hogy x-hez hozzárendeljük az log_{a}x-et, zérus helye nincs, szélső értéke nincs, nem korlátos [mert csak alulról korlátos]. Ha az a [alap] nagyobb, mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekedő, azaz ha két xhelyen nézzük a függvény értékét, a későbbi érték nagyobb lesz, ha viszont az a értéke 0 < a < 1, akkor szigorúan monoton csökken a függvény értéke. A függvény grafikonja az y tengelyt a (0, 1) pontban mettszi, asszimptotája az x tengely, azaz közelít hozzá, de nem éri el.

12. Hogyan definiáljuk egy pozitív szám nulladik, negatív egész és racionális kitevőjű hatványait? a^{0} = 1 (a > 0) Minden pozitív valós számnak a nulladik hatványa 1. a^{−n} = \frac{1}{a^{n}} (a > 0 és n ∈ N^{+}) Minden pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka [megfelelő pozitív számon a negatív kitevő abszolútértékét értve]. Az \frac{1}{a^{n}} ugyanaz, mint a (\frac{1}{a})^{n}. Így a^{−n} = (\frac{1}{a})^{n}. Ha az alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót alkalmazni. a^{\frac{p}{q}} =^{q}\sqrt{a^{p}} (a > 0, p ∈ Z, q > 1∈ Z) Pozitív a szám \frac{p}{q}-adikon hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa a^{p}-ediken. A tört kitevőjű hatvány gyökös alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű hatvány alakba írható.

13. Mit értünk egy valós szám ^{n}\sqrt{a}-én (n-edik gyökén) [ahol n egy pozitív egész szám]? n\sqrt{a} \{pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re, és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa a. Pl.: ^{3}\sqrt{27} = 3, ^{4}\sqrt{256} = 4, ^{5}\sqrt{−32} = −2 Mert: 3^{3} = 27, 4^{4} = 256, (−2)^{5} = −32

14. Igazoljuk a következő azonosságokat: A. ^{n}\sqrt{a · b} =^{n} \sqrt{a} ·^{n} \sqrt{b}

B. ^{n\sqrt{\frac{a}{b}} = \begin{matrix}^{n} & \sqrt{a} \\ ^{n} & \sqrt{b} \end{matrix}}

C. (^{k}\sqrt{a})^{n} =^{k} \sqrt{a^{n}} A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető. A. Az állítás igaz, ha n > 1[egész szám]. Páros n-re: a, és b egyaránt nem negatív szám. Páratlan n-re: a, ésb tetszőleges valós számok. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt. Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (^{n}\sqrt{a · b})^{n} = a · b-vel. A szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt: (^{n}\sqrt{a} ·^{n} \sqrt{b})^{n} = (^{n}\sqrt{a})^{n} · (^{n}\sqrt{b})^{n} = a · b Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos. Páros n-re: amikor mindkét oldal ”értelmes” [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és a vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele. B. Az állítás igaz akkor, ha n > 1 [egész szám].

Páros n esetén: a nemnegatív valós szám,b pozitív valós szám Páratlan n esetén: a tetszőleges valós szám, b nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0] Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással. Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló ^{n}\sqrt{\frac{a}{b}}-nek az n-edik hatványát véve \frac{a}{b}-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: (\begin{matrix}^{n} & \sqrt{a} \\ ^{n} & \sqrt{b} \end{matrix})^{n}. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve \frac{(^{n}\sqrt{a})^{n}}{(^{n}\sqrt{b})^{n}} = \frac{a}{b}-t kapunk. Páratlan n esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros n esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt. C. Az állítás igaz, ha k ≥ 1[egész szám], n ≥ 1 [egész szám]. Páratlan k esetén az a tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!] Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre. Bizonyítása: ^{k}\sqrt{a^{n}} írható úgy: ^{k}\sqrt{a · a · a · . . .} [n darab szorzótényezővel])=^{k} \sqrt{a} ·^{k} \sqrt{a} ·^{k} \sqrt{a} · . . . [n darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (^{k}\sqrt{a})^{n} Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.

15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a következő számok normál alakját: 0, 000173, 582000000, \frac{78}{582} A pozitív valós szám normál alakja olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa. Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb. Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője −1, vagy −1-nél kisebb, de −10-nél nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa. [A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!] 0, 000173 = 1, 73 · 10^{−4} 582000000 = 5, 82 · 10^{8} \frac{78}{582} = 0, 1342 = 1, 342 · 10^{−1}

108. Ábrázoljuk, és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett [x-hez hozzárendeljük az |x|] függvényt! Értelmezési tartomány: valós számok halmaza, és x ∈ R. Érték készlete: nem negatív valós számok halmaza. Minimum helye: x = 0 Minimum értéke: y = 0 Zérus helye: x = 0 X tengely mettszet: x = 0 Y tengely mettszet: y = 0 Ha x <0, akkor szigorúan monoton csökken, ha x > 0, szigorúan monoton nő a függvény. A függvény páros függvény, grafikonja szimetrikus az y tengelyre.

16. Mit jelent az log_{a}b, és milyen kikötéseket kell tenni a-ra, és b-re? log_{a}baz az egyetlen valós kitevő, amelyre az a-t felemelve b-t kapunk. a^{log_{a}b} = b Kikötések: b > 0, a > 0 és a ≠ 1

17. Igazoljuk a következő azonosságokat: A. log_{a}(x · y) = log_{a}x · log_{a}y B. log_{a} \frac{x}{y} = log_{a}x − log_{a}y C. log_{a}x^{k} = k · log_{a}x Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?

A. Az állítás igaz, ha x > 0, y > 0 [amire vonatkozik a logaritmus], az a > 0, a ≠ 1[alap]. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével. Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton. Írjuk fel az x-et, és az y-t a hatványaként! x = a^{u} y = a^{v} u = log_{a}x v = log_{a}y Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] = u + v log_{a}(x · y) = log_{a}(a^{u} · a^{v}) = log_{a}a^{u+v} [Egyenlő alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük] log_{a}x + log_{a}y = u + v A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. log_{a}(x · y) = log_{a}x + log_{a}y Kikötés: x > 0, y > 0, a > 0 és a ≠ 1. B. Az állítás igaz, ha x > 0, y > 0, a > 0 és a ≠ 1. Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével. Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton. x = a^{u} y = a^{v} u = log_{a}x v = log_{a}y log_{a} \frac{x}{y} = log_{a} \frac{a^{u}}{a^{v}} = log_{a}a^{u−v} = u − v log_{a}x − log_{a}y = u − v C. Az állítás igaz akkor, ha x > 0, k ∈ R, és a > 0 , de a ≠ 1. Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával. A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton: x = a^{u} u = log_{a}x A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható: log_{a}x^{k} = log_{a}(a^{u})^{k} = log_{a}a^{u·k} = u · k A jobb oldala: k · log_{a}x = k · u A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.

115. Ábrázolja, és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett log_{a}x függvényt, ha a > 1, és abban az esetben, ha 0 < a < 1. [Vagyis az alapot két csoportra osztjuk, 1-nél nagyobb, és 1-nél kisebb pozitív szám.] Mind a két esetben az értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza [x ∈ R^{+}], érték készlete pedig a valós számok halmaza [x ∈ R]. A függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Inverze: a^{x}. Zérus helye: x = 1. Szélső értéke nincs, és nem korlátos. Ha a > 1, akkor szigorúan monoton nő, ha 0 < a < 1, akkor szigorúan monoton csökken a függvény. Az egyenlőtlenségek megoldásánál érdekes ez, mikor is szigorúan monoton növekszik, s a logaritmus elhagyásával rátérünk az argumentumokra, s ekkor marad a relációsjel ugyanolyan. Ha az 0 < a < 1 [szigorúan monoton csökken a függvény], a logaritmus elhagyásával az argumentumra rátérve a relációsjel ellentétesre vált. A függvény grafikonja mind a két esetben az x tengelyt az (1, 0) pontban mettszi, aszimptotája pedig az y tengely.

23. Hogyan definiálja két negatív szám számtani, ill. mértani közepét? Két valós szám a és b számtani közepe, a két szám összegének fele: \frac{a+b}{2}. Két nem negatív valós szám (a ≥ 0 és b ≥ 0) mértani közepe szorzatuk négyzetgyöke: \sqrt{a · b}. Beszélhetünk n darab valós szám számtani közepéről is, ez az adott számok összegének az n-ed része. Beszélhetünk n darab nemnegatív szám mértani közepéről is, ami az adott számok szorzatának az n-edik gyöke.

43. Mi az összefüggés két nem negatív szám számtani, és mértani közepe között? Igazoljuk az összefüggést! Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak akkor van, ha a két szám egymással egyenlő: \frac{a+b}{2} ≥ \sqrt{a · b},ahol a ≥ 0 és b ≥ 0 Bizonyítása: [Kettővel átszorozva] a + b ≥ 2 · \sqrt{a · b} [Mindkét oldalt négyzetre emelve:] a^{2} + 2ab + b^{2} ≥ 4ab [4ab-t átvisszük a bal oldalra:] a^{2} − 2ab + b^{2} ≥ 0 [Más alakba felírva:] (a − b)^{2} ≥ 0 Ez igaz, mert (a − b)^{2} [azaz egy valós szám négyzete] nem lehet soha negatív , tehát vagy nulla vagy pozitív lehet. Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az a = b, vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással, ha a két érték megegyezik egymással.

Vektorok

52. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor? Minden eltolást egy irányított szakasszal adunk meg, amelyet vektornak nevezünk. Két vektor akkor egyenlő, ha ugyanazt az eltolást adják meg, vagyis ha hosszuk és irányuk megegyezik. Két vektor akkor ellentett vektor, ha hosszuk megegyezik, az irányuk pedig ellentétes. A vektor hossza a vektor abszolút értéke. A nulvektor abszolút értéke \underline{0}, iránya tetszőleges.

53. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, ill. különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! [Legyen a két vektor \underline{a} és \underline{b}.] Vegyük fel \underline{a}-t, és a végpontjából mérjük fel a \underline{b} vektort. Az \underline{a} vektor kezdőpontjából a \underline{b} vektor végpontjába mutató vektor az \underline{a} + \underline{b} vektor, amely az összeg, vagy eredővektor. Az \underline{a} és \underline{b} vektorokkal megadott két eltolás egyetlen eltolással helyettesíthető: ezt az eltolást adja meg az \underline{a} + \underline{b} vektor. Két [egymással nem párhuzamos] vektor összege megadható az ún. paralelogramma szabállyal is: vegyük fel a két vektort közös kezdőponttal, végpontjaikon át húzzunk a másik vektorral párhuzamosokat. Ezek a párhuzamosok az adott vektorokkal együtt egy paralelogrammát határoznak meg. Az eredővektor a paralelogrammának az adott vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlója. A vektorok összeadása kommutatív: ez a paralelogramma szabállyal történő összegzésből nyilvánvaló. Több vektort úgy összegezhetünk, hogy egymáshoz csatlakozóan vesszük fel őket. Az összegvektor az elsőnek felvett vektor kezdőpontjából az utoljára felmért vektor végpontjába mutató vektor. A vektorok összeadása asszociatív is: (\underline{a} + \underline{b}) + \underline{c} = \underline{a} + (\underline{b} + \underline{c}) = \underline{a} + \underline{b} + \underline{c} Az \underline{a} − \underline{b} különbségvektor az a vektor, amelyhez a \underline{b} vektort adva az \underline{a} vektort kapjuk. Az \underline{a}−\underline{b} vektort úgy kapjuk meg, hogy a két vektort közö kezdőpontból vesszük fel; az \underline{a}−\underline{b} vektor a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. A vektorkivonás nem kommutatív [az \underline{a} − \underline{b} és \underline{b} − \underline{a} vektorok ellentettvektorok].

54. Mit értünk egy vektor számszorosán? ε · \underline{a} [az \underline{a} vektor epszilonszorosa ε ≠ 0-ra az a vektor, amelyre ε · \underline{a} =ε · |\underline{a}|, és iránya ε > 0 esetén megegyezik az \underline{a} vektor irányával. ε < 0 esetén pedig az \underline{a} vektorral ellentétes irány.

Ha ε = 0, akkor ε · \underline{a} = \underline{0}.

79. Mik a bázisvektorok? Definiálja egy vektor koordinátáit az \underline{i}, \underline{j} egységvektorokkal megadott koordinátarendszerben! Ha felveszünk a síkon egy O pontot és \underline{a}, \underline{b} [nem párhuzamos] vektorokat, akkor a sík bármely P pontjához tartozik egy \overrightarrow{OP} helyvektor, mely egyértelműen felbontható az \underline{a} és \underline{b} vektorokkal párhuzamos összetevőkre: \overrightarrow{OP} = k_{1} · a + k_{2} · b A k_{1} és a k_{2} számokat úgy tekintjük, mint a \overrightarrow{OP} vektorhoz rendelt rendezett számpárt. Ily módon a helyvektorok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpárokat feleltetünk meg. Az adott vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, ha két adott vektor az \underline{i} és \underline{j} egységvektor, ahol \underline{i}-t +90^{∘}-os elforgatás viszi át \underline{j}-be. Az \overrightarrow{OP} helyvektort felbonthatjuk \underline{i} és \underline{j} irányú összetevőkre: \overrightarrow{OP} = k_{1} · \underline{i} + k_{2} · \underline{j}; k_{1} és k_{2} az \overrightarrow{OP} helyvektor koordinátái. A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő: az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja, és az x tengely pozitív fele az \underline{i}, az y tengely pozitív fele pedig a \underline{j} irányba mutat.

80. Mit ért egy vektor abszolútértékén? Hogyan határozható meg egy vektor abszolútértéke a vektor koordinátái segítségével? Tetszőleges vektor abszolútértékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük az adott O-ból kiinduló \underline{v} vektort az x koordinátatengelyre. Az AOT derékszögü háromszög befogóinak hossza a vektor koordinátáinak abszolútértékével, az átfogó hossza pedig a vektor abszolútértékével egyenlő. A Pitagorasz-tételt felírva: |v| = \sqrt{\underline{v_{1}^{2}} + \underline{v_{2}^{2}}}, vagyis egy vektor abszolútértéke egyenlő az a koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel.A kapott összefüggés akkor is érvényes, ha a vektor valamelyik tengellyel párhuzamos, pl.: |v| = \sqrt{\underline{0^{2}} + \underline{v_{2}^{2}}} = |\underline{v_{2}}|

81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen? Az \underline{a} és \underline{b} vektor skaláris szorzata: \underline{a} · \underline{b} = |\underline{a}| · |\underline{b}| · cos ε Ahol ε a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis 0 ≤ ε ≤ 180^{∘}. Ha ε < 90^{∘} [vagyis hegyes szög], akkor \underline{a} · \underline{b}pozitív. Ha ε > 90^{∘} [vagyis tompa szög], akkor \underline{a} · \underline{b} negatív. Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög nincs egyértelműen meghatározva, de a \underline{0} abszolútértéke 0, ezért a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott. Ha \underline{a}merőleges \underline{b}−re, akkor \underline{a} · \underline{b} = |\underline{a}| · |\underline{b}| · cos 90^{∘} = |\underline{a}| · |\underline{b}| · \underline{0} = 0, vagyis a skaláris szorzatuk 0. Megfordítva: ha \underline{a} · \underline{b} = 0, és az \underline{a} · \underline{b} vektorok egyike sem 0, akkor |\underline{a}| ≠ 0, és |\underline{b}| ≠ 0, így \underline{a} · \underline{b} = |\underline{a}| · |\underline{b}| · cos ε = 0 csak úgy állhat fenn, ha cos ε = 0, tehát \underline{a} merőleges \underline{b}-re. Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor ⊥ egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük, hogy minden vektorra merőleges.] A skaláris szorzat definíciójából nyílvánvaló, hogy a skaláris szorzat kommutatív: \underline{a} · \underline{b} = \underline{b} · \underline{a}. Az (\underline{a} · \underline{b}) · \underline{c} egy \underline{c} irányvektor, az \underline{a} · (\underline{b} · \underline{c}) pedig egy \underline{a} irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív.

82. Bizonyítsa be, hogy minden \underline{a} · \underline{b} · \underline{c} vektor esetében (\underline{a} + \underline{b}) · \underline{c} = \underline{a} · \underline{c} + \underline{b} · \underline{c}, vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható! Ha \underline{c} = 0, akkor (\underline{a} + \underline{b}) · \underline{0} = 0, \underline{a} · \underline{0} + \underline{b} · \underline{0} = 0, tehát igaz az állítás. Ha \underline{c} ≠ \underline{0}, akkor vegyük a \underline{c}-vel azonos irányú \underline{e} egységvektort, ekkor \underline{c} = |\underline{c}| · \underline{e}. Így elegendő az (\underline{a} · \underline{b}) · \underline{e} = \underline{a} · \underline{e} + \underline{b} · \underline{e} állítást belátnunk ([zt abszolútérték c-vel beszorozva az eredeti állítást kapjuk]. A skaláris szorzat definíciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy egy vektornak és egy egységvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén lévő előjeles vetületét adja [ez a skalárvetület]. Adott az e egységvektor. Vegyük fel az a, b vektorokat, összegük: a + b. Képezzük ezeknek az e egyenesére vonatkozó skalárvetületét. Az összeg skalárvetülete =a tagok skalárvetületeinek összegével: (a + b) · e = a · e + b · e.

83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! Két koordinátáival adott vektor, a (a_{1}, a_{2}) és b (b_{1}, b_{2}) skaláris szorzata: a · b = a_{1} · b_{1} + a_{2} · b_{2}. Bizonyítás: a = a_{1} · i + a_{2} · j, b = b_{1} · i + b_{2} · j, a · b = (a_{1} · i + a_{2} · i) · (b_{1} · i + b_{2} · i). A disztributív tulajdonság alapján a szorzás tagonként végezhető: a · b = a_{1} · b_{1} · i^{2} + a_{1} · b_{2} · i · j + a_{2} · b_{1} · j · i + a_{2} · b_{2} · j^{2}, i · j = j · i = 0, mivel i és j merőlegesek egymásra. i^{2} = |i| · |i| · cos (0) = 1. Hasonlóan (j^{2}) is 1-gyel egyenlő. Így a · b = a_{1} · b_{1} · 1 + a_{2} · b_{2} · 1, amiből a · b = a_{1} · b_{1} + a_{2} · b_{2}, ezt akartuk bizonyítani. Tehát két vektor skaláris szorzata megfelelő koordinátái szorzatának összege.

Függvények, sorozatok

100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege \frac{n·(n+1)·(2·n+1)}{6}! [Teljes indukcióval bizonyítunk.] Az összefüggés (n = 1)-re igaz: \frac{1·2·3}{6} = 1. Tegyük fel, hogy (n − 1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy (n − 1)-ről n-re öröklődik. A feltevés szerint: 1^{2} + 2^{2} + … + (n − 1)^{2} = \frac{(n−1)·n·(2·n−1)}{6}. Az egyenlőség mindkét oldalához n^{2}-et adunk: 1^{2} + 2^{2} + … + (n − 1)^{2} + n^{2} = \frac{n·(n−1)·(2·n−1)}{6} + n^{2}. A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva: n·(2 · n^{2} − 3 · n + 1)+ \frac{6·n^{2}}{6} = \frac{n·(2·n^{2}+3·n+1)}{6} = \frac{n·(n+1)·(2·n+1)}{6}.Ezzel igazoltuk az állítást. Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz, mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, … öröklődik; 1-re pedig beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz.

101. Egy számtani sorozat első eleme a_{1}, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy a_{n} = a_{1} + (n − 1) · d és S_{n} = \frac{n·a_{1}+a_{n}}{2} ! A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó.A sorozat n -edik tagja: a_{n} = a_{1} + (n − 1) · d, mivel a_{1}-től (n − 1) lépésben jutunk el a_{n}-ig, és mindegyik lépésben d-t adunk az előző taghoz. S_{n} = a_{1} + … + a_{n}. Az egyes tagokat a_{1} segítségével fölírva: S_{n} = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 · d) + … + a_{1} + (n − 2) · d + a_{1} + (n − 1) · d. Az összeget (a_{n} segítségével) fordított sorrendben is felírjuk: S_{n} = a_{n} + (a_{n} − d) + (a_{n} − 2 · d) + … + a_{n} − (n − 2) · d + a_{n} − (n − 1) · d. A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettjei. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t tartalmazó tagok rendre kiesnek: 2S_{n} = a_{1} + a_{n} + a_{1} + a_{n} + … + a_{1} + a_{n} = n · (a_{1} + a_{n}). így: S_{n} = \frac{n·(a_{1}+a_{n})}{2}.

102. Egy mértani sorozat első eleme a_{1}, hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy a_{n} = a_{1} · q^{n−1} és S_{n} = a_{1} \frac{q^{n}−1}{q−1} q ≠ 1. A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek a q-szorosa. A sorozat n-edik tagja: a_{n} = a_{1} · q^{n−1}, mivel a_{1}-től (n − 1) lépésben jutunk el a_{n}-ig, és mindegyik lépésben q-val szorozzuk az előző tagot. S_{n} = a_{1} + a_{1} · q + … + a_{1} − −2 + a_{1} · q^{n−1}. S_{n} · q = a_{1} · q + a_{1} · q^{2} + … + a_{1} · q^{m−1} + a_{1} · q^{n−1}, q ≠ 1. Ha q = 1, akkor a_{k}= a_{1} minden k = 1, 2, …, n − re, így S_{n} = n · a_{1}.

104. Hogyan adható meg egy függvény? [A válaszban térjen ki a jelölésekre is!] Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan 1−1 elemet a B halmazból. az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük. Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B-beli elemet rendel, ezt f (x)-szel jelöljük [f függvény értéke az x helyen]. Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke.

Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg. pl: x-et rendeljük \sqrt{(x − 1)}-hez. (x ≥ 1) Az f valós függvényt [valós számokon értelmezett valós értékű függvény, vagyis olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok részhalmaza] grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x, y) koordinátáira fennáll az y = f (x) összefüggés. A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel. Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. pl.: f (x) = x^{2}−1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény leszűkített értelmezési tartománnyal: f : [0, 2] → R, f (x) = x^{2} − 1. Függvényeket megadhatunk utasítással is. pl a valós számokon értelmezett egészrész [x ↦ [x], ∀x ∈ R-re] függvény, ahol ez a jelölés a következő utasítást jelenti: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is. Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le [számsorozatok]. Valós számokon értelmezett valós függvényeket gyakran gy adunk meg, hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van.

105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill. értékkészletén? A függvény definíciója: Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f (x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az f (x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza.

106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak? Egy f függvény elsőfokú [lineáris], ha az f függvény egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazára [H a valós számok részhalmaza], és f (x) = a · x + b, a ≠ 0, a, b ∈ R-nek. a > 0-ra a függvény szigorúan monoton növekvő, a < 0-ra szigorúan monoton csökkenő. Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor - a fenti képlettel megadott - elsőfokú függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek a meredeksége a, az y tengelyt pedig a (0, b) pontban metszi. b = 0-ra az elsőfokú függvény a két változó közötti egyenes arányosságot adja.

107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak? Egy f valós függvény f : H → R, H ⊂ R, H ≠ 0 másodfokú, ha f (x) = a · x^{2} + b · x + c, ahol a, b, c ∈ R és a ≠ 0. Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfokú függvény grafikonja y tengellyel párhuzamos parabola.

109. Ábrázolja és jellemezze a nem negatív valós számok halmazán értelmezett x ↦ \sqrt{x} függvényt! Értelmezési tartomány: a nem negatív valós számok halmaza R_{0}^{+}. Értékkészlete: a nem negatív valós számok halmaza R_{0}^{+}. A függvény teljes értelmezési tartományán szigoruan monoton növekvő. Minimumhely: x = 0. Minimum érték: y = 0. Zérushely: x = 0. y tengelymetszet: x = 0. x tengelymetszet: y = 0. A grafikon minden x -re a görbe pontjait összekötő húr fölött halad.

110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy:

A. periódikus? B. páros? C. páratlan? D. korlátos? A. Az f függvény periódikus, ha van olyan c > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartománya minden x elemére f (x + c) = f (x) teljesül, ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor x ± c is. Periódikus függvény például a trigonometrikus függvények és a ”törtrész”-függvény x ↦ [x]. B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt −x is eleme az értelmezési tartománynak, és f (−x) = f (x). Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények: x↦ |x|, x ↦ cos x. A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimetrikus az y tengelyre. C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt −x is eleme az értelmezési tartománynak, és f (−x) = −f (x). Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, az x↦ \frac{c}{x}, és x ↦ sin x. A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimetrikus az origóra. D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére |f (x)| ≤ K. Korlátos függvényekre példa: x ↦ sin x, x ↦ cos x és x ↦ {x}.

111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy {a, b} intervallumban monoton növekszik, ill. csökken? Az f függvény egy {a, b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontjára, melyre x_{1} = x_{2}. Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigoruan monoton nő, illetve csökken.

112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének, szélsőértékének? Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre f (x) = 0. A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. Egy f függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x_{0} értékére, ha a függvény értelmezve van x_{0}-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére f (x) ≤ f (x_{0}). Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x_{0}-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére f (x) ≥ f (x_{0}).

113. Mit értünk egy függvény inverzén? A derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverzének grafikonja között? Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között [vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve]. Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f (x) eleme a g értelmezési tartományának, és g (f (x)) = x. pl.: a nem negatív valós számokon értelmezett x ↦ x^{2}, s ennek inverze, ha az x ↦ \sqrt{x} [x nem negatív]. Ha az f és a g függvény egymásnak inverze, akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete, és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya. Ha két függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjaik [ha megrajzolhatóak], egymásnak tükörképei az y = x egyenletű egyenesre. Szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő] függvénynek az inverze is szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő].

116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x ↦ sin x. Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a (−1, 1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható [nincs inverz függvénye]. Páratlan függvény, mert sin x = − sin x, minden valós x-re. Periódikus, mert sin (x + k · π) = sin x minden valós x-re [k tetszőleges egész szám]. A periódus hossza 2π. Zérushelyei: x = k · π, k ∈ Z, tetszőleges. Maximumhelyei: x = \frac{π}{2} + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Maximumértéke: 1.

Minimum helyei: x = \frac{3π}{2} + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Minimumértéke: −1. Szigorúan monoton nő, ha \frac{−π}{2} + 2kπ ≤ x ≤ \frac{π}{2} + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Szigorúan monoton fogy, ha \frac{π}{2} + 2kπ ≤ x ≤ \frac{3π}{2} + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges.

117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x ↦ cos x függvényt. Értelmezési tartomány: valós számok halmaza. Értékkészlete: a (−1, 1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható. Páros függvény, mert cos (−x) = cos x, minden valós x-re. Periódikus, a periódus hossza 2π. Zérushelyei: x = \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z tetszőleges. Maximumhelyei: x = 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Maximum értéke: 1. Minimumhelyei: x = π + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Minimumértéke: −1. Szigorúan monoton nő, ha π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges. Szigorúan monoton fogy, ha 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, k ∈ Z tetszőleges.

118. Ábrázolja és jellemezze a [\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) balról zárt, jobbról nyílt intervallumon értelmezett x ↦ tan x függvényt. Értékkészlete: a valós számok halmaza. Invertálható, ugyanis minden valós értéket egyszer vesz fel, viszont nem korlátos. Páratlan, mert tan (−x) = − tan x az adott értelmezési tartományokon. Zérushelye: x = 0. Szélsőértéke nincs, szigoruan monoton nő.

123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós szám értékű függvény. a számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége d állandó. A számtani sorozatban bármely három egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe. A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek q-szorosa., ahol q a mértani sorozatra jellemző állandó szorzótényező. Ha a quociens q pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha q > 1, akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő,

Középpontos tükrözés (0 0 esetén az O-P félegyenesen van, ε < 0 esetén pedig az O-P-vel ellentétes félegyenesen. Az O pont képe önmaga. Ha ε > 1, akkor nagyítás; ha |ε| < 1, akkor kicsinyítés; ha |ε| = 1, akkor egybevágóság, ha ε negatív, akkor az O pont elválasztja a P és a P^{,} pontot. A középpontos hasonlóság tulajdonságai: A. Kölcsönösen egyértelmű. B. Egyetlen fixpontja az O pont. C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix. D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással. E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A^{,} és B képe B^{,}, C képe C^{,}, D képe D^{,}, akkor \frac{AB}{CD} = \frac{A^{,}B^{,}}{C^{,}D^{,}}. F. A középpontos hasonlóság szögtartó.

57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

A tétel egy speciális esetének megfordítása: Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak. Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva helyezkednek el.

59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli. Hasonlósági transzformáció: Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció egymásutánja. Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya páronként egyenlő ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt szögeik egyenlők. Ha két-két szögük páronként megegyezik. Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögeik egyenlők.

61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló gúlát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^{2}, a két gúla térfogatának aránya pedig k^{3}! A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gúla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám. A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk. Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.

62. Milyen összefüggés van a gúla alapterülete és az alappal párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be! A gúla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet csúcstól mért távolságának x négyzete aránylik a gúla magasságának m négyzetéhez. Bizonyítás: A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan - a gúla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gúla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó gúlák magasságának arányával, \frac{x}{m}-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe úgy aránylik az alapterülethez, mint a csúcstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő gúlák magasságainak négyzete].

Tehát: \frac{t}{T} = (\frac{x}{m})^{2} = \frac{x^{2}}{m^{2}} .

Térfogat számítások

135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot? A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek. Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet. Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága. Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye.

A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma. Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő. A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük. Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor végtelen kettőskp szerü felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla. A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gúla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike. Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp. A rögzített pont a kúp cscsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kúp alaplapja. A kúp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kúp alkotói. A kúp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kúp magassága. A kúp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kúp palástja. Ha a kúp alaplapja kör, akkor a kúp körkúp. [Ha kúpról beszélünk, többnyire körkúpra gondolunk.] A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kúp tengelye. A kúp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szárú háromszög. A kúp egyenlő oldalú, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat négy tulajdonságán alapszik: A. A térfogat pozitív szám. B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő. D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1. A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik. A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a ”minden határon tl finomodó kétoldali közelítés” módszerével.

136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasságú hasáb térfogata V = T · m! A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt. A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy csúcsából kiinduló három éle a, b, c akkor a térfogata ezek szorzata: V = a · b · c. A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg. B. A paralelepipedon térfogata: V = T · m C. Háromszög alap hasáb térfogata V a hasáb alapterületének T és a magasságának m a szorzata: V = T · m. D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V = T · m

137. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V = r^{2} · π · m! A bizonyítás gondolatmenete: Írjunk gondolatban az r sugaru, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk m]. A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az ”alapterület szer magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság m azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. gy az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^{2}π, a kör területe. Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az r^{2}π · m érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V = r^{2}π · m.

138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gúla térfogata V = T · \frac{m}{3}! A. A T alapterületű m magasságú tetraéder térfogata T · \frac{m}{3}. A bizonyításhoz két segédtételt használunk: a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete T és magassága m egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő. B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő. C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára. B. Tetszőleges T alapterületű m magasságú gúla V térfogata: V = T · \frac{m}{3}.

141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata V = r^{2}π · \frac{m}{3}! A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. Irjunk a kúpba és a kúp köré egyre nagyobb oldalszámú m magasságú szabályos sokszög alapú gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával megegyezik. A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kúp alapkörét. A kúp térfogata a beírt és a körülírt gúlák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszámú köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, r^{2}π-hez tart. Így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt gúlák térfogata közé esik egyrészt az r^{2}π · \frac{m}{3} érték, amihez a köréírt és a beírt gúlák térfogata tart, másrészt a kúp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha a kúp térfogata V = r^{2}π · \frac{m}{3}.

142. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú gömb térfogata V = 4r^{3}π · \frac{m}{3}! Az r sugarú gömb térfogata: V = 4r^{3}π · \frac{m}{3}.

143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakúp alapjai r és R sugarú körök, magassága pedig m, akkor térfogata V = m · \frac{π}{3} (R^{2} + Rr + r^{2})!

Trigonometria

66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge α, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, α és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az α szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az α szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin α-t, cosα-t, tgα-t, ctgα-t így értelmezzük: sin α = \frac{a}{c} [az α szöggel szemközti befogó / az átfogó]

cos α = \frac{b}{c} [az α szög melletti befogó / az átfogó] tgα = \frac{a}{b} [az α szöggel szemközti befogó / az α szög melletti befogó]

ctgα = \frac{b}{a}[az α szög melletti befogó / az αszöggel szemközti befogó] sin α = \frac{a}{c}-ből a = c · sin α, vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az α szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.

67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza? Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan α szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át. sin α az α irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája]. cos α az α irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája].

68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense? Ha cos α ≠ 0 - azaz (α ≠ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z -, akkor tanα = \frac{sin α}{cos α}. Ha cos α = 0, akkor az α szög tangensét nem értelmezzük. Ha sin α ≠ 0 - azaz α ≠ kπ, k ∈ Z -, akkor ctgα = \frac{cos α}{sin α}. Ha sin α = 0, akkor az αszög kotangensét nem értelmezzük.

69. Számítsa ki a 30^{∘}-os, 60^{∘}-os, 45^{∘}-os szögek szögfüggvényeinek pontos értékét! A 30^{∘}-os és a 60^{∘}-os szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki: sin 30^{∘} = \frac{1}{2}

sin 60^{∘} = \sqrt{\frac{3}{2}}

cos 30^{∘} = \sqrt{\frac{3}{2}} cos 60^{∘} = \frac{1}{2} tg30^{∘} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} tg60^{∘} = \sqrt{3} ctg30^{∘} = \sqrt{3} ctg60^{∘} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} a 45^{∘}-os szög szögfüggvényeit az egységnyi befogój egyenlő szárú derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki: sin 45^{∘} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos 45^{∘} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} tg45^{∘} = \frac{1}{1} = 1 ctg45^{∘} = \frac{1}{1} = 1

70. Igazolja a következő azonosságokat: sin α^{2} + cos α^{2} = 1 minden valós a -ra. A szögfüggvények definíciója szerint az α irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos α, sin α), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^{2} = sin α^{2} + cos α^{2} = 1

71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög. Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által közbezárt szög ε. Ekkor a háromszög területét a következő képlet adja meg: t = a · b · \frac{sin ε}{2}

73. Bizonyítsa be egy kör r hosszságú sugara, a hosszságú húrja és az a-hoz tartozó α kerületi szög közötti következő összefüggést: A = 2r · sin α. Az r sugarú körben az α kerületi szöghöz tartozó a húr hossza: 2r · sin α.

74. Bizonyítsa be a szinusztételt! A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával. Bizonyítása: Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen az α és β szögek felhasználásával: \frac{a·c·sin β}{2} = \frac{b·c·sin α}{2}, innen: a · sin β = b · sin α, vagyis: \frac{a}{b} = \frac{sin α}{sin β} Közben felhasználtuk, hogy c ≠ 0, b ≠ 0, és sin β ≠ 0, hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó. Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül - meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet: egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, α az ezzel szemközti szög, c az átfogó]

- a szinusztétel a sin α = \frac{a}{c} összefüggést adja.

75. Bizonyítsa be a koszinusztételt! A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab · cos ε

76. Igazolja a következő azonosságokat: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β és cos (α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β

77. Fejezze ki sin (α − β) ill. cos (α − β) értékét a sin (α + β), ill. cos (α + β)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Érvényesek a következő összefüggések: sin (α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β és cos (α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β. Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β és cos (α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β. Írjunk béta helyébe −β, majd használjuk fel, hogy sin (−β) = − sin β és cos (−β) = cos β. sin (α + (−β)) = sin α · cos (−β) + cos α · sin (−β) = sin α · cos β − cos α · sin β Ezzel állításunkat igazoltuk. cos (α + (−β)) = cos α · cos (−β) − sin α · sin (−β) = cos α · cos β + sin α · sin β Ezzel állításunkat igazoltuk.

78. Fejezze ki tg (α + β)-t tgα-val és tgβ-val a sin (α + β), ill. a cos (α + β)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! A tg (α + β) = \frac{tgα+tgβ}{1−tgα·tgβ}.

KOMGRAF

148. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem összes permutációjának száma n! = n (n − 1) (n − 2) … 3 · 2 · 1! Adott n [különböző] elem valamely sorrendjét az adott elemek egy permutációjának nevezzük. Az n elem összes lehetséges sorrendjének a számát, vagyis az n elem permutációinak számát p_{n}-nel jelöljük. A p_{n} meghatározásához vegyünk egy n rekeszes dobozt, és vizsgáljuk meg, hány féleképpen lehet elhelyezni az 1, 2, 3, … (n − 1) , n elemeket a megadott n helyre: n féleképp, n − 1 féleképp, ... kétféleképp, egyféleképp. Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható; így ez a rekesz n féleképpen tölthető be. A második rekeszbe az első helyre beírt elem már nem választható, így a másodikba az (n − 1) elem bármelyike tehető. Ez az első rekesz minden lehetséges kitöltése mellett a második rekesz kitöltésére (n − 1) féle lehetőséget ad. Az első két rekesz kitöltésére tehát n (n − 1) lehetőség van. A harmadik rekeszbe már csak n − 2 elem közül választhatunk. Így az első három rekeszbe n (n − 1) (n − 2) féleképpen tehetők az elemek. Hasonlóan látható be, hogy a következő helyek mindegyike egyel kevesebb módon tölthető be, mint az előző hely. Az n − 2-edik rekeszbe 3, az n − 1-edik rekeszbe 2 elem közül választhatunk; az n-edik rekeszbe már csak egy elem marad. n különböző elem összes permutációjának száma: p_{n} = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1. Az egyenlőség jobb oldalán az első n természetes szám szorzat áll, ennek rövid jelölése: n faktoriális. Tehát p_{n} = n!.

149. Bizonyítsa be, hogy a különböző elem k-ad osztályú variációinak száma \frac{n!}{(n−k)!}! Adott n különböző elem, válasszunk ki közülük k-t (k ≤ n), és vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. Így az n elem egy k-ad osztályú variációját nyerjük. Az összes kiválasztott k-as összes lehetséges sorrendjének a száma az n elem összes k-ad osztály variációinak száma. Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt! Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon: n féleképp, n − 1 féleképp, ⋯, n − k + 1 -féleképp. Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. A második rekeszbe már csak n − 1 elem közül választhatunk [egy elem ugyanis már az első rekeszben van]. Ez n−1 féle kitöltési lehetőséget ad a második rekesz számára. Az első két rekeszbe így n (n − 1) féleképpen tehetők az elemek. Minden rekeszbe egyel kevesebb elem közül választhatunk, mint az előzőbe. A k-adik rekeszbe n − k + 1elem közül választunk.

A doboz teljes kitöltésére összesen n·(n − 1)·. . .·(n − k + 1) lehetőség adódik. Ha az eredményt (n − k)! bővítjük, faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk: n (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = \frac{n(n−1)·...·(n−k+1)(n−k)(n−k−1)·...·2·1}{(n−k)·(n−k−1)·...·2·1} = \frac{n!}{(n−k)}!.

150. Bizonyítsa be, hogy különböző elem k -ad osztály konbinációinak száma = \frac{n!}{k!·(n−k)!}. Adott n különböző elem. Az n elem

közül k különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel. Így az n elem k -ad osztály konbinációját nyerjük. Ennek meghatározása érdekében nézzük meg, milyen kapcsolat van az n elemből alkotott k-ad osztály variációk száma és az n elemből alkotott k-ad osztály konbinációk között! Egy k-ad osztály konbinációból így képezhetünk k-ad osztály variációt, hogy a konbináció elemeit permutáljuk. Minden egyes konbináció k faktoriális variációt ad. A konbinációk különböztek egymástól legalább egy elembe, így a kapott variációk is biztos különböznek. Ezek szerint: k!·különböző n elem k-ad osztály kombinációja = n (n − 1) (n − 2) · . . . · (n − k + 1) = \frac{n!}{(n−k)!}, innen:

különböző n elem k-ad osztály konbinációja = \frac{n(n−1)·...·(n−k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n−k)!}

159. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát! Egy n elemű halmaznak 2^{n} szám különböző részhalmaza van. Bizonyítása: tekintsük az A = {a_{1}, a_{2}, …, a_{n}} halmazt! Egy részhalmazt megadhatunk oly módon, hogy az a_{1}, a_{2}, …, a_{n} elemekről rendre megmondjuk, hogy benne vannak-e a részhalmazban, vagy sem. Ennek alapján az A halmaz részhalmazait megfeleltetjük 0 és 1 számjegyekből álló n tagú számsorozatoknak: a k-adik helyre aszerint írunk 0-át vagy 1-et, hogy a k benne van-e a részhalmazban. Ha nincs benne, 0-át; ha benne van, 1-et írunk. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, így pontosan annyi részhalmaza van az A halmaznak, mint ahány 0-ákból és 1-esekből álló n tagu számsorozat van. Minden hely kitöltésére egymástól függetlenül 2 lehetőségünk van [0-át vagy 1-et írhatunk]. Így a lehetőségek száma 2^{n}.

160. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pont teljes gráf? Mi az egyszerű gráf? Mi az összefüggő gráf? Ha véges sok adott pont közül egyeseket vonallal összekötünk, akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük. A pontok a gráf pontjai vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei. Ha egy gráfnak n pontja van [n pozitív egész szám], és mindegyik pontból pontosan 1 él vezet a többi ponthoz, akkor a gráfot n pont teljes gráfnak nevezzük. A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. Az ilyen él neve hurok. Két csúcsa között több élt is húzhatunk, ezek a többszörös élek. Egy gráfot egyszerűnek nevezünk akkor, ha nincs benne sem hurok, sem többszörös él. A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába élek mentén el lehet jutni.

Koordináta geometria

84. Mit ért egy alakzat egyenletén? Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem.

85. Írja fel az A (a_{1}, a_{2}) és B (b_{1}, b_{2}) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét! Két pont A (a_{1}, a_{2}) és B (b_{1}, b_{2}) távolsága d a két pont által meghatározott vektor A − B (b_{1} − a_{1}, b_{2} − a_{2}) abszolútértéke. Koordinátáival adott vektor abszoltértéke a vektor koordinátái négyzetösszegének a négyzetgyöke. Így |A − B| =

\sqrt{(b_{1} − a_{1})^{2} + (b_{2} − a_{2})^{2}}

A két pont távolsága: d = \sqrt{(b_{1} − a_{1})^{2} + (b_{2} − a_{2})^{2}}.

86. Írja fel egy szakasz felezőpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat! Szakasz felezőpontjának koordinátái: az A − B szakasz F felezőpontjának koordinátái: x = \frac{x_{1}+x_{2}}{2} , y = \frac{y_{1}+y_{2}}{2} . A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepei. A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái: x = \frac{x_{1}+2x_{2}}{3} , y = \frac{y_{1}+2y_{2}}{3} . A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzá közelebbi végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a távolabbi végpont megfelelő koordinátáját, s ezt az összeget osztjuk hárommal.

87. Adottak egy háromszög cscspontjainak koordinátái. Bizonyítsa be, hogy a slypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként! x = \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} , y = \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} . Ahol S (x, y) a három súlyvonal közös pontja. A bizonyításhoz felhasználjuk a harmadoló pont koordinátáira vonatkozó ismereteinket.

88. Definiálja egy egyenes iránytangensét! Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy \underline{v} (v_{1}, v_{2}) irányvektorának koordinátáiból képzett \frac{v_{2}}{v_{1}} hányados, ahol v_{1} ≠ 0. \frac{v_{2}}{v_{1}} = tgα , v_{1} ≠ 0 és α az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt szöge. Ha v_{2} = 0, vagyis az egyenes párhuzamos az x tengellyel, akkor iránytangense 0. Ha v_{1} = 0, vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel, akkor nincs iránytangense.

89. Bizonyítsa be, hogy a P_{0} (x_{0}, y_{0}) ponton átmenő \underline{v} (v_{1}, v_{2}) irányvektor egyenes egyenlete v_{2}x − v_{1}y = v_{2}x_{0} − v_{2}y_{0}! A P_{0} (x_{0}, y_{0}) ponton átmenő \underline{v} (v_{1}, v_{2}) irányvektor egyenes egyenlete: v_{2}x − v_{1}y = v_{2}x_{0} − v_{2}y_{0}.

90. Bizonyítsa be, hogy a P_{0} (x_{0}, y_{0}) ponton áthaladó n vektor (n1,n2) normálvektoru egyenes egyenlete n_{1} (x − x_{0}) + n_{2} (y − y_{0}) = 0! Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nulvektortól különböző vektor. A bizonyításban felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket.

91. Bizonyítsa be, hogy a P_{0} (x_{0}, y_{0}) ponton átmenő m iránytangensű egyenes egyenlete y − y_{0} = m (x − x_{0})! Bizonyítása: legyen az egyenes irányvektora \underline{v} (v_{1}, v_{2}). Iránytangens csak akkor létezik, ha a \underline{v} nem párhuzamos az y tengellyel, vagyis v_{1} ≠ 0. Ekkor az iránytangenst m-et így értelmezzük: m = \frac{v_{2}}{v_{1}} . Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből: v_{2} · (x − v_{1}) y = v_{2} (x_{0} − v_{1}) y_{0}. v1 ≠ 0, végigosztva az egyenletet kapjuk: \frac{v_{2}}{v_{1}} x − y = \frac{v_{2}}{v_{1}} x_{0} − y_{0}. Ez pedig így írható: mx − y = mx_{0} − y_{0}. A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy: y − y_{0} = m (x − x_{0}). Ha az adott pont P_{0} (0, b), akkor y − b = mx, vagyis y = mx + b. Ez az egyenes iránytényezős egyenlete.

92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét! Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense egyenlő legyen: m_{1} = m_{2}. Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense m_{1} és m_{2}, akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy iránytangenseik szorzata −1 legyen: m_{1}m_{2} = −1.

93. Bizonyítsa be, hogy a C (u, v) középpont, r sugarú kör egyenlete ((x − u)^{2} + (y − v)^{2} = r^{2})! A P (x, y)pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C (u, v), középponttól, r. A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet.

95. A P paraméterű F (0, \frac{p}{2}) fókuszpont parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete (x^{2} = 2 · p · y)! Bizonyítása: a feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete: y = −\frac{P}{2} . A P (x, y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P -nek a vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T -vel jelölve (P − F = P − T), vagyis: \sqrt{(x^{2} + (y − \frac{P}{2} )^{2})} = y + \frac{P}{2} .

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az (x^{2} = 2 · p · y)alakot, amely ekvivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y + \frac{P}{2} ) pozitív. A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete. Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete: (y^{2} = 2 · p · x).

Síkgeometria

24. Mit ért A. Pont és egyenes távolságán? B. Párhuzamos egyenesek távolságán? C. Pont és sík távolságán? D. Párhuzamos síkok távolságán? A. Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsájtott merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakasza hosszát értjük. B. Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsájtott merőlegesnek a két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. C. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőlegesnek a pont és sík közötti szakaszának a hosszát értjük. D. Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsájtott merőleges - két sík közötti szakaszának - hosszát értjük.

25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál transzverzálisának nevezni. Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes mindegyikére másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát úgy is megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a keresett egyenes.

26. Mit ért A. Egyenes és sík hajlásszögén? B. Két sík hajlásszögén? A. Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes (e′). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt szögek között. B. Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független. Megkaphatjuk ezt a szöget gy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge.

27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén? Két kitérő egyenes hajlásszöge a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független.

28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszögek egybevágóságának alapeseteit! Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. Egybevágóságnak nevezzük a síknak önmagára való távolságtartó leképezését. A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó ha: A. Oldalaik hossza páronként egyenlő. B. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek álltal közrefogott szögek egyenlők. C. Egy-egy oldaluk hossza és bármelyik két-két megfelelő szögük egyenlő.

D. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők.

31. Mit nevez középvonalnak A. Palalelogramma B. Trapéz C. Háromszög esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! A. A palalelogramma középvonala: Két párhuzamos oldala felezőpontját összekötő szakasz. A palalelogramma középvonala párhuzamos a palalelogramma két oldalával; hossza velük megegyező. B. A trapéz középvonala: A két szár felezőpontját összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival; hossza azok számtani közepe. C. A háromszög középvonala: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza az oldal hosszának a fele.

50. Hogyan mérünk szöget? A szög legelterjedtebb mértékegysége a teljes szög 360-ad része, a fok; ennek 60-ad része a perc; ennek 60-ad része a másodperc. Egy körben a középponti szögek és a hozzájuk tartozó körívek hossza egyenesen arányos. Ez az összefüggés lehetőséget nyújt az ívmértékkel való szögmérésre. Az ívmérték egysége az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszúságú körív tartozik. Neve: Egy radián. Másképpen: Egy radián az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz az egységsugar körben egységnyi hosszuság körív tartozik. A szög ívmértéke egy arányszám, amely azt mutatja meg, hogy a szöghöz mint középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának. Eszerint egység sugar körben a szög ívmértéke a szöghöz, mint középponti szöghöz, tartozó körív hossza. A teljes szög ívmértéke: \frac{2·R·π}{r} = 2 · π radián. Az egyenes szög ívmértéke: π radián. A derékszög ívmértéke: \frac{π}{2} radián. A 60 fokos szögé: \frac{π}{3} radián. α szög ívmértéke: \frac{π}{180^{∘}} · α radián. 360^{∘} ívmértéke: 2π radián, ezért egy radián a \frac{360^{∘}}{2π} 57, 3^{∘}-nak az ívmértéke.

Ponthalmazok

33. Határozza meg a következő ponthalmazokat: A. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. B. Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Két adott ponton [P -től és Q-tól] egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a P Q szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőleges egyenese. A P -től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a P Q szakasz felezőmerőleges síkja. Ez a sík átmegy a P Q szakasz F felezőpontján, és merőleges a P Q szakaszra. Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese merőleges a P Q szakaszra. B. Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei.

34. Határozza meg a következő ponthalmazokat!: A. Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon és a térben. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Három adott ponttól, A-tól, B-től, és C-től egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az AB szakasz felezőmerőlegese: A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a BC szakasz felezőmerőlegese. A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A, B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek egy közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő távolságra van. Ez egyttal azt is jelenti, hogy AC felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. A térben az A, B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az AB szakasz felezőmerőleges síkjának és a BC szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. Ha A, B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. Ha A, B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor a három egyenes közt nincs egybeeső pont. Ha a három egyenes párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. Ha a három egyenes közülkettő párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket [a ∥ b, e metszi a-t és b-t,], akkor az a és b párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa p. Az a és e egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f_{1} és f_{2} szögfelező egyenesek. Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P_{1} és P_{2} pont. P_{1} és P_{2} egyenlő távolságra van az e-től és b-től is. [Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.] a háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. A 2. 3. és 4. jelű síktartományban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat [minden síktartományban egyet]. Ha a három egyenes egy pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja.

94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának? A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy, a síkban adott ponttól és egy - az adott pontra nem illeszkedő egyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese [direktrixe]. A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere p. A parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz.

96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk elipszisnek? Az elipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F_{1} és F_{2}] az elipszis fókuszpontjai. Az adott távolság az elipszis nagytengelye. Az F_{1}F_{2} szakasz felezőmerőlegesének az elipszis tartományába eső szakasza az elipszis kistengelye.

98. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk hiperbolának? A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távoolságkülönbségének abszoltértéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F_{1} és F_{2}] a hiperbola fókuszpontjai, az adott távolság a hiperbola főtengelye.

Háromszög tételek

32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva. A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást. Legyen az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A BC oldal felezőmerőlegese f. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel AB és BC metszik egymást, a felezőmerőlegeseik e és f metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az AC oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk. A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. Így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást! Legyen az ABC háromszög α szögének szögfelezője f_{α}. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A β szög szögfelezője f_{β}. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az f_{α} és az f_{β} szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van b-től és c-től, és a-tól és c-től is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van a-tól és b-től is, tehát rajta van a γ szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.

37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást! A háromszög magasságvonala a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását! Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.

55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! Egy háromszög súlyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek három súlyvonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.

56. Bizonyítsa be a Pitagorasz-tételt, és a tétel megfordítását. Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével. Algebrai alakban: a^{2} + b^{2} = c^{2}, ahol a és b a derékszögű háromszög két befogója és c az átfogója. A Pitagorasz tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő. A Pitagorasz tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja! A háromszög b csúcsából induló szögfelező a szemközti oldalt két részre osztja. Jelöljük ezeket b_{1}-gyel és b_{2}-vel. A tétel állítása szerint: \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{a}{c}.

63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe. A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

64. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre osztja. Bizonyítsa be, hogy az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe. [A tételt lásd a címben!]

Halmazok

152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő két halmaz? A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit. Pl.: A = {1, 3, 5, 7, 9} Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal úgy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. Pl.: R^{+} = {x ∈ R, x > 0}, P = {n ∈ N^{+}és n prím }

153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek? Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek, és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme.

154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mit értünk A és B direkt [Descartes-féle] szorzatán? Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A · B halmaz eleme az összes olyan (a, b) alap rendezett pár, ahol a ∈ A, és b ∈ B. Az A · B halmazt az A és B halmazok direkt [Descartes-féle] szorzatának nevezzük.

155. Definiálja a következő halmazműveleteket: Unió-, Metszet-, Különbségképzés! A három művelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív? Unióképzés: Az A és B halmaz uniója [egyesítése, összege] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Az unióképzés: Kommutatív: A ⋃ B = B ⋃ A. Asszociatív: (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) = A ⋃ B ⋃ C Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete [közös része] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül mindkettőnek elemei. A metszetképzés: Kommutatív: A ⋂ B = B ⋂ A. Asszociatív: (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C) = A ⋂ B ⋂ C. Különbségképzés: Az A és B halmazok [ebben a sorrendben vett] különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak. A különbségképzés művelete nem kommutatív és nem asszociatív.

156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív! A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy állítást az ”és” kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé. A művelet kommutatív: A ⋀ B = B ⋀ A. A definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke [igaz, vagy nem igaz volta] független az eredeti állítások sorrendjétől. A művelet asszociatív: (A ⋀ B) ⋀ C = A ⋀ (B ⋀ C)

157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív! A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a ”vagy” kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze. A művelet kommutatív: A ⋁ B = B ⋁ A, a definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti állítások sorrendjétől. A művelet asszociatív: (A ⋁ B) ⋁ C = A ⋁ (B ⋁ C)

158. Mi a negáció? Legyen p és q két állítás! Bizonyítsa be, hogy ¬ (p ⋀ q) = ¬p ⋁ ¬q! A negáció egyváltozós művelet. Egy a kijelentés negációja ¬a a ”nem igaz, hogy a” kijelentést, vagyis a tagadását jelenti. Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között: ¬ (p ⋀ q) = ¬p ⋁ ¬q

Négyszög tételek

29. Osztályozza a síknégyszögeket A. Az oldalak párhuzamossága, B. Az oldalak egyenlősége szerint! A. Az oldalak párhuzamossága szerint: Van két párhuzamos oldaluk: Trapézok. Az olyan trapézok, amelyeknek a párhuzamos oldalakra merőleges szimetriatengelyük van: A szimetrikus trapézok. Azok, amelyeknek két-két oldaluk párhuzamos: Paralelogrammák. B. Az oldalak egyenlősége szerint: Két-két szemközti oldaluk egyenlő hosszság: Paralelogrammák. Köztük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: Rombuszok. Két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszság: Deltoidok.

30. Milyen négyszöget nevez hrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek? Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Ezt röviden így is mondjuk: A négyszög köré írható kör. Igazolható, hogy bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180^{∘}, és fordítva: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180^{∘}, akkor az húrnégyszög. Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, melyeknek oldalai egy kör érintői. Igazolható, hogy bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszságának összege egyenlő; és fordítva, ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszúságának az összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög. Húrnégyszögek pl.: A szimetrikus trapézok. Érintőnégyszögek pl: A rombuszok, a deltoidok. A négyzet húrnégyszög is, érintőnégyszög is.

39. Bizonyítsa be, hogy egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő! Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, amelyeknek az oldalai egy kör érintői. A. Minden érintőnégyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő. B. Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.

40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180^{∘}! Húrnégyszögek azok a négyszögek, amelyek köré kör írható. A. Bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180^{∘}. B. Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180^{∘}, akkor a négyszög húrnégyszög.

Sokszögek, kör

41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármelyik kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög! A kerületi szög olyan szög, melynek csúcsa a kör kerületén van, szárai pedig a kör 1-1 húrját tartalmazzák. A körvonalnak a kerületi szög szögtartományába eső íve a kerületi szöghöz tartozó körív. A középponti szög olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, szárai pedig a kör 1-1 sugarát tartalmazzák. A körvonalnak a középponti szög szögtartományába eső íve a középponti szöghöz tartozó körív. A kör egy ívéhez egy középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. A kör egy ívéhez tartozó bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög.

42. Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n − 2) · 180^{∘}, átlóinak száma pedig \frac{n(n−3)}{2}! A. Az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n − 2) · 180^{∘}. Bizonyítása: A sokszög minden csúcsából n − 3 átló hzható [saját magával és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható átló]. Az egy csúcsból húzott n − 3 átló a sokszöget n − 2 háromszögre bontja. Ezek belső szögeinek összege: (n − 2) · 180^{∘}. Ez éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja. B. Az n oldal konvex sokszög összes átlójának száma \frac{n(n−3)}{2}. Bizonyítása: Az n oldal konvex sokszögben egy csúcsból n − 3, n csúcsból összesen n (n − 3) átló húzható. Így mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az n (n − 3)-at ezért el kell osztani 2-vel. Az n oldalú sokszög összes átlójának száma tehát valóban \frac{n(n−3)}{2}.

60. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög [ívhossz] segítségével! A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az r sugarú i hosszúságú ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen α^{∘} , az ívmértéke legyen iα, a kör cikk területe t legyen. A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos. Ezt felhasználva: \frac{α^{∘}}{360^{∘}} = \frac{iα}{2π} = \frac{t}{r^{2}π} , innen> t = \frac{π}{360^{∘}·r^{2}·α^{∘}} = \frac{r^{2}iα}{2} az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének r-szerese; i = r · iα. juk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe: T = \frac{r·i}{2} a körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe = \frac{r^{2}iα}{2} − \frac{r^{2} sin α}{2} = \frac{ir}{2} − \frac{r^{2} sin α}{2iα}: A körív hosszához tartozó középponti szög.

65. Húzzon egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt. Bizonyítsa be, hogy az érintő szakasz hossza a szelődarabok hosszának mértani közepe! [A tétel igaz, grafikus megoldása van!] Pille software, 1997.