Véges geometria MINTAvizsga

1996. tavasz

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre.

1) Legyen az alábbi M mátrix egy H = { H_{1}, H_{2}, H_{3} } az { x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} } halmaz feletti halmazrendszer illeszkedési mátrixa:

M = ( \begin{matrix}& H_{1} & H_{2} & H_{3} \\ x_{1} & 1 & 1 & 0 \\ x_{2} & 0 & 0 & 1 \\ x_{3} & 1 & 0 & 1 \\ x_{4} & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ).

Írjuk fel az M · M^{T} mátrixot. Hogyan értelmezhető az első sorában szereplő első elem kombinatorikusan? Mi lesz az első sor második elmének kombinatorikus jelentése?

2) Legyen B egy (v, 3, 1)-blokkrendszer. Milyen értékeket vehet fel v? (Csak szükséges feltételeket várok, az elégségességet nem várom el. Indokoljuk, miből következnek a feltételeink.)

3) Írjuk le a det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{23} & a_{33} \end{matrix} ) geometriai értelmezését.

4) Milyen n-re létezik két n × n méretű ortogonális latinnégyzet? Csak a választ adjuk meg, indoklás nem szükséges.

5) Rajzoljunk fel egy 3 paraméterű affin síkot. (Affin síkok esetén a paraméter egy egyenesekre illeszkedő pontok száma.)

6) Bizonyítsuk be, hogy ha valamely v ≡ 1 (mod 4) értékre létezik (v, k, λ) paraméterű szimmetrikus blokkrendszer, akkor az x^{2} = (k − λ)y^{2} + z^{2} diofantikus egyeneletnek van nem triviális megoldása. (A tétel bizonyításához szükséges lemmákat elegendő csak kimondani.)

7) A P G(2, q) projektív síkon adott egy O ovális. Vegyük egy P ∈ O ponton átmenő érintő pontjait, és vizsgáljuk meg, hogy az O ovális hány érintője halad át ezeken a pontokon. q paritásától függően milyen eredményt kapunk? Az egyik esetre vonatkozó válaszunkat igazoljuk is.