Véges geometria vizsga 1996. június 20.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre.

1) Adjunk meg a véges projektív és affin síkon is minimális elemszámú az egyeneseket lefogó ponthalmazt. Az axiómák segítségével indokoljuk meg miért illeszkedik minden egyenesre kijelölt ponthalmazunk valamely pontja.

2) Milyen 4-gyel nem osztható n-ekre létezik n × n méretű Hadamard-mátrix. Válaszunkat indokoljuk.

3) A 5, 7, 17 és 125 számok közül melyek írhatók fel két négyzetszám összegeként? Indokoljuk is válaszunkat. Általában mely n természetes számok írhatók fel két négyzetszám összegeként? Csak a választ kérem,

indoklás nem szükséges.

4) Adjuk meg egy geometriai feltételt projektív síkra, amely garantálja, hogy a sík koordinátázható legyen egy ferde testtel. Válaszunkat nem kell indokolni.

5) Rajzoljunk fel egy 3 paraméterű affin síkot. (Affin síkok esetén a paraméter egy egyenesekre illeszkedő pontok száma.)

6) Bizonyítsuk be, hogy ha valamely v ≡ 1 (mod 4) értékre létezik (v, k, λ) paraméterű szimmetrikus blokkrendszer, akkor az x^{2} = (k − λ)y^{2} + z^{2} diofantikus egyeneletnek van nem triviális megoldása. (A tétel bizonyításához szükséges lemmákat elegendő csak kimondani.)

7) Definiáljuk egy projektív sík (projektív) részsíkjának fogalmát. Egy n paraméterű projektív síknak van egy m paraméterű (valódi) részsíkja. Mit mondhatunk n és m

viszonyáról? Válaszunkat indokoljuk.