Véges geometria vizsga

1996. június 17.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre.

1) A projektív sík illeszkedési axiómáiból vezessük le, hogy a projektív síkon

(i) minden egyenesre legalább 3 pont illeszkedik, (ii) tetszőleges két egyeneshez van rájuk nem illeszkedő pont.

2) Írjuk fel a blokkrendszerek paramétereire vonatkozó oszthatósági feltételeket. Igazoljuk is, hogy ezeknek az összefüggéseknek fenn kell allni.

3) Írjuk le a det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{23} & a_{33} \end{matrix} ) geometriai értelmezését.

4) Adjuk meg egy geometriai feltételt projektív síkra, amely garantálja, hogy a sík koordinátázható legyen egy (kommutatív) testtel. Válaszunkat nem kell indokolni.

5) Rajzoljunk fel egy 3 paraméterű projektív síkot.

6) Bizonyítsuk be, hogy p páratlan prímszám esetén létezik két 3p × 3p méretű ortogonális latinnégyzet. 3 7) Definiáljuk a hiperovális fogalmát a projektív síkon.

A P G(2, q) projektív síkon adott egy H hiperovális. Mit mondhatunk a síkparaméteréről? Válaszunkat indokoljuk.

Legyen P egy H-n kívüli pont. Mit mondhatunk a P -n áthaladó érintők és szelők számáról?