Véges geometria vizsga 1996. június 13.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre.

1) A projektív sík illeszkedési axiómáiból vezessük le, hogy a projektív sík két egyenesének ugyanannyi pontja van.

2) Adjunk becslést a páronként ortogonális n × n méretű latin négyzetek maximális számára. Válaszunkat indokoljuk.

3) Bizonyítsik be, hogy egy nem-üres halmaznak ugyanannyi páros elemszámú részhalmaza van, mint páratlan elemszámú. Bizonyításunk kombinatorikus (bijektív) legyen. (Teljes indukciós bizonyítást nem fogadok el!)

4) Milyen n-re biztos, hogy nem létezik n × n méretű Hadamard-mátrix? Csak a választ kérem, indoklás nem szükséges.

5) Rajzoljuk fel a Fano-síkot.

6) Bizonyítsuk be, hogy ha 4n − 1 prímszám, akkor létezik (4n − 1, 2n − 1, n − 1) paraméterű blokkrendszer. 3 7) Definiáljuk az ovális fogalmát a projektív síkon.

A P G(2, q) projektív síkon adott egy O ovális. Vegyük egy P ∈ O ponton átmenő egyeneseket, és vizsgáljuk meg, hogy az ezek között hány érintő és hány szelő van. Válaszunkat igazoljuk is. Összesen hány érintő és hány szelő egyenes van az O oválishoz?