1996. május 2.

Részsíkok

Definíció: Egy (P, E, I) projektív sík (projektív) részsíkja a (P′, E′, I′) projektív sík, ha P′ ⊆ P, E′ ⊆ E és I′ = I ∩ (P′ × E^{p}rime). Valódi részsíkról beszélünk, ha P′ ≠ P, azaz véges esetben a részsík paramétere szigorúan kisebb az eredeti sík paraméterénél.

Példa: Legyen ′ az test egy részteste. Ekkor P G(2, ′) a P G(2, ) projektív sík részsíkja.

Példa: t|s esetén P G(2, p^{s})-nek van p^{t} paraméterű (valódi) részsíkja.

Példa: P G(2, q^{2})-nek van q paraméterű (valódi) részsíkja.

Tétel: (Bruck tétele) Egy n-ed rendű projektív síknak van m-ed rendű valódi részsíkja. Ekkor n = m^{2} vagy n ≤ m^{2} + m.

Bizonyítás: Legyen e ∈ E′. Ekkor e-re n+1 darab P -beli, és m+1 darab P′-beli pont illeszkedik. Vegyünk egy e-re illeszkedő, P′-n kívüli pontot. Az ezen áthaladó, e-tól különböző n egyenes mindegyikére maximum egy P′-beli pont illeszkedik. Ebből a P′ ponthalmaz számosságát becsülhetjük. Mivel |P′| = m^{2} + m + 1, ez’ert kapjuk, hogy:

m^{2} + m + 1 ≤ m + 1 + n,

azaz m^{2} ≤ n.

Tegyük fel, hogy m^{2} < n. Ekkor a fenti becslés nem éles. Ebből van olyan egyenes, amire nem illeszkedik P′-beli pont. Ezen tetszőleges pontjára a rajta áthaladó egyenesek között maximum egy E′-beli lehet. Így becsülhetjük E′ elemszámát:

m^{2} + m + 1 ≤ n + 1.

Ebből az állítás adódik.

Definíció: n = m^{2} esetén az n paraméterű projektív sík m paraméterű részsíkjá Baer-részsiknak nevezzük. ⋄

Megjegyzés: Ha B egy Baer-részsík ponthalmaza, akkor (a fenti bizonyításból) a sík minden egyenese metszi B-t.

Lefogó ponthalmazok

Definíció: Egy (P, E, I) illeszkedési struktúra lefogó halmaza egy L ⊆ P, amelyre teljesül, hogy minden E-beli elemre illszekedik legalább egy elem L-ből.

Példa: A projektív sík egy egyenesére illeszkedő pontok. (n paraméterű sík esetén n + 1 darab pont.)

Példa: Az affin sík két metsző egyenesére illeszkedő pontok. (n paraméterű sík esetén 2n − 1 pont.) Mi a legkisebb lefogó ponthalmaz?

⋆

A (n paraméterű) projektív sík esetén n pont nem lehet elég, mert az legfeljebb (n + 1)n darab pontot fog le.

Definíció: A projektív síkon egy lefogó halmaz triviális, ha tartalmaz egy egyenes ponthalmazát. ⋄ Milyen kicsi lehet egy nemtriviális lefogó halmaz nagysága?

Megjegyzés: Nincs q + 1 elemszámú nemtriviális lefogó halmaz.

Megjegyzés: Ha van Baer-részsík, akkor ennek ponthalmaza q + \sqrt{q} + 1 elemű nemtriviális lefogó halmazt ad.

Csak említeni:

Tétel: (Bruen—Pelikán tétele) P G(2, q) minden nemtriviális lefogó halmaza q +\sqrt{q} +1 elemű. EGyenlőség esetén a lefogó ponthalmaz egy Baer-részsíkot feszít.

q prímszám esetén még q + \sqrt{q} + 1 elemű nemtriviális lefogó ponthalmaz sincs.

Tétel: (Blokhuis tétele) P G(2, p) (p prím) esetén minden nemtriviális lefogó halmaz elemszáma legalább \frac{3}{2}p + \frac{1}{2}.

⋆

Tétel: (Janison tétele) AG(2, q) minden lefogó ponthalmaza legalább 2q − 1 elemszámú.

Bizonyítás: Legyen L egy lefogó ponthalmaz. Feltehető, hogy (0, 0) ∈ L. L az összes origón át nem menő egyenest is lefogja. Ezek egyenlete ax + by = 1 alakra hozható.

Legyen L = { (0, 0), (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}),…, (a_{s}, b_{s}) } (tehát s = |L| − 1). Legyen p_{L}(α, β) = ∏_{i=1}^{s}(a_{s}α + b_{s}β − 1).

(i) degp_{L} = |L| − 1. (ii) Tetszőleges (a, b) ∈ _{q}^{2}{ (0, 0) } esetén p_{L}(a, b) = 0. (iii) p_{L}(0, 0) ≠ 0.

Lemma: (i)+(ii)+(iii)⇒deg p_{L}(α, β) ≥ 2q − 2. ♢ A fenti lemma éles, amit (α^{q−1} − 1)(β^{q−1} − 1) mutat. A lemmából adódik a tétel.