1996. április 25.

Definíció: Hat pont (körszerű rendezéssel, ami oldalakat definiál és a hat csatlakozó oldal alapján beszélhetünk szemközti oldalakról) a projektív síkon Pascal-hatszöget alkot, ha van olyan egyenes és rajta három pont, amelyek rendre illeszkednek a szemközti oldalpárokra.

Lemma: (i) Desargues-tulajdonság ⇔ Pascal-hatszög másodszomszédos csúcsait megcserélve is Papposzhatszöget kapunk.

(ii) Papposz-tulajdonság ⇔ Pascal-hatszög másodszomszédos csúcsait megcserélve is Papposz-hatszöget kapunk. ♢

Következmény: Papposz-tulajdonság ⇒ Desargues-tulajdonság.

Ívek, oválisok, kúpszeletek véges projektív síkon

Definíció: A ponthalmaz ív, ha bármely egyenesre maximum két pontja illeszkedik.

Definíció: I egy ív és e egy egyenes. e szelő akkor és csak akkor, ha |I ∩ H_{e}| = 2. e érintő akkor és csak akkor, ha |I ∩ H_{e}| = 1. e elkerülő akkor és csak akkor, ha |I ∩ H_{e}| = 0.

Lemma: Legyen I egy ív az n paraméterű projektív síkon. Ekkor (i) |I| ≤ n + 2, (ii) n páratlan esetén |I| ≤ n + 1. ♢

Definíció: Legyen I egy ív az n paraméterű projektív síkon. I egy ovális akkor és csak akkor, ha |I| = n+1. I egy hiperovális akkor és csak akkor, ha |I| = n + 2.

Megjegyzés: Egy páratlan paraméterű projektív síkon nem létezik hiperovális.

Tétel: Legyen O egy ovális az n paraméterű projektív síkon.

(i) O minden pontján egy érintő és n szelő halad át. (ii) n páros esetben az O-n kívüli pontok esetén egy ponton áthaladó összes egyenes érintő, a többi (q^{2} − 1

darab) pont esetén a rajta áthaladó egyenesek között egy érintő, \frac{q}{2} szelő és \frac{q}{2} elkerülő van. (iii) n páratlan esetben az O-n kívüli pontok esetén \frac{q^{2}+q}{2} pont esetén az ezen áthaladó egyenesek közül kettő

érintő, \frac{q−1}{2} szelő és \frac{q+1}{2} elkerülő; míg \frac{q^{2}−q}{2} pont esetén az ezen áthaladó egyenesek közül \frac{q+1}{2} szelő és \frac{q−1}{2} elkerülő (tehát nem halad át rajta érintő).

Megjegyzés: n páros esetben minden ovális egyértelműen kiegészíthető egy hiperoválissá.

Megjegyzés: n páratlan eseteben definiálható egy ovális belső és külső pontjainak halmaza.

Tétel: Legyen H egy hiperovális az n paraméterű projektív síkon (n páros).

(i) H minden pontján n + 1 szelő halad át. (ii) H-n kívüli pontok esetén az ezen áthaladó egyenesek közül \frac{q+2}{2} szelő és \frac{q}{2} elkerülő egyenes van.

⋆

Definíció: Legyen q egy páratlan prímhatvány. P G(2, q)-ban K ponthalmaz egy kúpszelet, ha létezik olyan 3×3 méretű el nem fajuló A mátrix _{q} felett, hogy x⃗ = (x_{0} : x_{1} : x_{2}) ∈ K akkor és csak akkor, ha x⃗Ax^{T} = 0. ⋄

Megjegyzés: x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 0 egyenlet nem-üres kúpszeletet definiál (véges test felett ennek van nemtriviális megoldása).

Lemma: (i) Egy K kúpszeletnek minden egyenessel legfeljebb kettő közös pontja van.

(ii) Egy K kúpszleetnek q + 1 pontja van. ♢ Következmény: A K kúpszeletek egyben oválisok is. Tétel: (Segre tétele) P G(2, q) esetén (q páratlan prímhatvány) minden O ovális kúpszelet is. Bizonyítás: Nem bizonyítottuk.