1996. április 18.

Példa: 12 × 12-es Hadamard-mátrix felírása. F_{11} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, Q = { 1, 4, 9, 5, 3 }. Az elmélet alapján:

H_{12} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 1 & −1 & −1 \end{matrix} )

Véges geometriák koordinátázhatósága

Definíció: Egy projektív (affin) geometria koordinát’azható egy ferdetesttel, ha van olyan ferdetest, hogy a geometria izomorf ^{3} − { (0, 0, 0) }|_{∼} (F^{2}) geometriával. Példa: Fano sík koordinátázható.

Tanulság: egy nem koordináta geometriai módon megadott geometria lehet koordinátázható.

Hogyan lehet bizonyítani, hogy egy geometria nem koordinátázható? A koordinátázhatóságból következő könnyen ellenőrizhető tulajdonság segítségével adható bizonyítás, amennyiben egy geometriának nincs meg a tulajdonsága. Definíció: Desargues-sík. ⋄ Tétel: Minden koordinátázható geometria Desargues-féle. Bizonyítás: Lásd a projektív geometria anyagban Desargues tételének koordinátákkal tört’enő bizonyítását.

Következmény: Ha egy sík nem Desargues-féle, akor nem koordinátázható (ferde test felett). Példa: Törő egyenesek Példa: Hall példája a Kárteszi könyvből. Tétel: Egy geometria akkor és csak akkor koordinátázható ferde testtel, ha Desargues-geometria.

⋆

Mikor koordinátázható egy geometria testtel? Definíció: Papposz-tulajdonság. Lemma: Egy test felett koordinátázható sík Papposz-tulajdonságú. Következmény: Ha egy geometria nem Papposz tulajdonságú, akkor nem koordinátázható testtel. Tétel: Egy geometria akkor és csak akkor koordinátázható test felett, ha Papposz-tulajdonságú.

⋆

Következmény: Egy véges projektív sík akkor és csak akkor Desargues-tulajdonságú ha Paposz-tulajdonságú. Bizonyítás: Ha koordinátázható, akkor véges struktúrával és a véges ferde testek azok testek is egyben.

Ez a tétel a (nehéz, legalábbis hosszadalmas) koordinátázhatósági tétel nélkül is igazolható.