1996. március 28.

R ↦ R^{∗} = { r ∈ R|∃s : s · r = r · s = 1 } a ∈ H ⊆ R^{∗} ↦ A, A_{i,j} = a · i + j mátrixok latinnégyzetek leszenk. Páronként ortogonálisak, ha a, b ∈ H esetén a − b ∈ R^{∗} szintén teljesül.

Példa: _{p} × _{q} egységelemes gyűrű. H választható min p − 1, q − 1-nek.

Következmény: Minden 3 ≤ n ≠ 4k + 2 esetén létezik két n × n méretű ortogonális latinnégyzet.

Tétel: (G. Tarry tétele) Nem létezik két 6 × 6 méretű ortogonális latin négyzet.

Következmény: Nem létezik 6 paraméterű projektív sík.

Euler sejtette. Euler sejtés. Minden n = 4k + 2 esetén nincs két n × n-es ortogonális latinnégyzet. Ez nem igaz.

Példa:

( \begin{matrix}0 & 4 & 1 & 7 & 2 & 9 & 8 & 3 & 6 & 5 \\ 8 & 1 & 5 & 2 & 7 & 3 & 9 & 4 & 0 & 6 \\ 9 & 8 & 2 & 6 & 3 & 7 & 4 & 5 & 1 & 0 \\ 5 & 9 & 8 & 3 & 0 & 4 & 7 & 6 & 2 & 1 \\ 7 & 6 & 9 & 8 & 4 & 1 & 5 & 0 & 3 & 2 \\ 6 & 7 & 0 & 9 & 8 & 5 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 7 & 1 & 9 & 8 & 6 & 2 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 8 & 9 & 7 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 9 & 7 & 8 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 7 & 8 & 6 & 9 & 3 & 5 & 4 & 1 & 2 \\ 6 & 1 & 7 & 8 & 0 & 9 & 4 & 5 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 2 & 7 & 8 & 1 & 9 & 6 & 3 & 4 \\ 9 & 6 & 1 & 3 & 7 & 8 & 2 & 0 & 4 & 5 \\ 3 & 9 & 0 & 2 & 4 & 7 & 8 & 1 & 5 & 6 \\ 8 & 4 & 9 & 1 & 3 & 5 & 7 & 2 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 5 & 9 & 2 & 4 & 6 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 9 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 8 & 9 & 7 \end{matrix} )

Tétel: Minden 3 ≤ n ≠ 6 számra létezik két ortogonális latinnégyzet.

⋆

Tétel: A következők ekvivalensek

(i) Létezik n paraméterű projektív sík. (ii) Létezik (n^{2} + n + 1, n + 1, 1) paraméterű blokkrendszer. (iii) Létezik n − 1 darab páronként ortogonális n × n-es latinnégyzet

Hadamard-mátrixok

Definíció:

Példa: 2 × 2-es és 4 × 4-es Hadamrad-mátrix.

Lemma: Sorok, oszlopok felcserélése, −1-gyel való szorzása megtartja a Hadamard-mátrixságot.

Lemma: A következők ekvivalensek:

(i) H Hadamard mátrix. (ii) HH^{T} = nI. (iii) H^{T} H = nI. (iv) Oszlopok ortogonalitása.

(v) det H = n^{\frac{n}{2}} .

Bizonyítás: (v)⇒(i): 2 × 2 és 3 × 3-as determinánsok geometriai értelmezése. A diákok nem ismerik!! n-dimenzióra bizonyítás nélkül megemlíteni a Hadamard-egyenlőtlenséget.

Tétel: Ha H egy n × n-es Hadamard-mátrix, akkor n = 1, 2 vagy 4|n.

Sejtés: Minden 4|n eseténlétezik n × n-es Hadamard-mátrix. Tétel:

(i) Minden 2^{n} esetén létezik Hadamard-mátrix. (ii) Ha létezik n × n-es és m × m-es Hadamard-mátrix, akkor létezik nm × nm-es Hadamrad-mátrix is. Bizonyítás: Kroneker-szorzat.