1996. március 21.

Egy megoldás a házi feladatra. A diáklánnyal felíratom. (Meg kell őrizni a táblán, mert sokszor lesz rá hivatkozás.) Definíció: K ≈ L, ha átnevezéssel megkapható. Lemma: K ⊥ L_{1} és L_{1} ≈ L_{2}, akkor K ⊥ L_{2}. Következmény: Páronként ortogonális latinnégyzetek átnevezhetők úgy, hogy a páronkénti ortogonalitás megmaradjon és első soruk az 1, 2,…, n sor legyen. Példa: A kiinduló hármas átírása. Tétel: n × n méretben legfeljebb n − 1 páronkénti ortogonális latinnégyzet adható meg.

⋆

Tétel: Akkor és csak akkor létezik n − 1 páronként ortogonális n × n-es latinnégyzet, ha van n paraméterű projektív sík. Bizonyítás: Elmondva, de nem formalizálva.

Példaként 3 paraméterű projektív síkból kettő (páronként) ortogonális 3 × 3-as latinnégyzet. Példaként az óra elején megadott példából a 4 paraméterű projektív sík leírását megkezdjük.

Következmény: Minden n prímhatványra létezik n − 1 darab n × n-es páronként ortogonális latinnégyzet. Bizonyítás: I. Az eddigiek következménye.

II. a ∈ _{n}^{∗} ↦ A, ahol A_{i,j} = a · i + j. Ellenőrzés a linéaris algebra segítségével. ⋄ Példa: Négy 5×5-ös páronként ortogonális latinnégyzet felírása. Megjegyzés ezek nem lényegesen különbözők.

⋆

A fenti konstrukció általánosítható egységelemes, kommutatív gyűrűkre is. Házi feladat ennek végiggondolása és két 15 × 15-ös ortogonális latinnégyzet megadása.