1996. május 7.

Szimmetrikusság ekvivalensei:

Lemma: Egy (v, k, λ) paraméterű blokkrendszer pont-blokk illeszkedési mátrixa A. Ekkor a következők ekvivalensek:

(i) v = b (a szimmetrikusság eredeti defíníciója). (ii) d = k. (iii) A négyzetes. (iv) AA^{T} = A^{T} A.

(v) Blokkok metszete közös szám, λ. A bizonyítás közben adódik, hogy szimmetrikusság esetén A reguláris és det A = k\sqrt{(k − λ)^{v−1}}.

Lemma: A ∼ B reláció, ha van olyan nem elfajuló S mátrix, hogy A = SBS^{T}. ∼ ekvivalenciareláció. ∼ . ∼ reláció és kvadratikus form’ak lineáris transzformációi.

Példa: I ∼ λ · J + (k − λ) · I.

Lemma: m ∈ esetén

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∼ ( \begin{matrix}m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m \end{matrix} ) .

Tétel: (Ryser-Chowla tétel)

(i) v ≡ 0 (mod 2) esetén k − λ négyzetszám, azaz az x^{2} = (k − λ)y^{2} diophantikus egyenletnek van nemt-triviális gyöke.

(ii) v ≡ 1 (mod 4) esetén az x^{2} = (k − λ)y^{2} + z^{2} diophantikus egyenletnek van nemt-triviális gyöke. (iii) v ≡ 3 (mod 4) esetén az x^{2} = (k − λ)y^{2} − z^{2} diophantikus egyenletnek van nemt-triviális gyöke.

Bizonyítás: (i) det A egész szám, v − 1 páratlan. Ebből adódik az állítás.

(ii) ∼ reláció

(iii) bizonyítására nincs idő. Új ötlet nem kell, aki akarja az gondolkodhat rajta.