1996. február 29.

Illeszkédesi mátrix

Definíció: Legyen (P, E, I) valamely geometria acxiómak modellje. Ennek illeszkedési mátrixa egy |P |×|E| méretű mátrix, amely sorai a pontokkal és oszlopai az egyenesekkel vannak azonosítva, elnevezve. Egy egy (P, e) sor-oszlop párban álló mátrixelme 1 akkor és csak akkor, ha P Ie és 0 akkor és csak akkor, ha P nem illeszkedik e-re.

Lemma: (a) A következők ekvivalensek:

(i) Egy I r^{2} + r + 1 × r^{2} + r + 1 méretű 0-1 mátrixra II^{T} = rI_{r^{2}+r+1×r^{2}+r+1} + J_{r^{2}+r+1×r^{2}+r+1}, (ii) Egy I r^{2} + r + 1 × r^{2} + r + 1 méretű 0-1 mátrixra I^{T} I = rI_{r^{2}+r+1×r^{2}+r+1} + J_{r^{2}+r+1×r^{2}+r+1}, (iii) Egy I mátrix a projektív axiómák egy r paraméterű modelljének illeszkedési mátrixa.

(b) A következők ekvivalensek:

(i) Egy I r^{2} × r^{2} + r méretű 0-1 mátrixra II^{T} = rI_{r^{2}×r^{2}} + J_{r^{2}×r^{2}}, (ii) Egy I mátrix a projektív axiómák egy r paraméterű modelljének illeszkedési mátrixa. ♢

Összefoglalás

Az eddigi szemléletek: Axiomatikus szemlélet: Egy nyelv amit használva formális mondatokat tudunk kimondani. Következtetni tudunk és axiómákból levezetni (bizonyítani) következményeket. Modell szemlélet: Két konkrét halmaz és közte egy ralációt az axiómák mögött lévő struktúrának gondolhatunk, ha teljesíti az axiómákban megfogalmazottakat. Esetünkben a geometriai illeszkedési axiómáknak sok modellje lehetséges. Mi csak a végeseket vizsgáljuk. Különösen fontosak a véges testekre épített koordináta geometria analógiájával felépített modellek. Koordinát’azható geometriák. Az axiómatikus módszerrel bebizonyított állítások minden modellben teljesülnek. Kombinatorikus szemlélet: A geometria egy modellje azonosítható egy halmazrendszerrel. Az axiómák lefordíthatók érdekes kombinatorikus tulajdonságokra. kombinatorikus axiómarendszer fogalmazható meg. Lineáris algebrai szemlélet: A geometria azonosítható 0-1 mátrixokkal, ahol az axiómákat egy mátrixaritmetikát használó azonosság veszi át.

A fenti szemléletekre konkrét példák felhozása: Fano-sík, és a négy pontú affin sík. Megemlítve a kettőjük közötti kapcsolatot.

⋆

Természetes kérdések vethetők fel:

(1) Milyen r paraméterre létezik r paraméterű projektív sík?

(2) Mely modellek a koordinátázható modellek? Minden modell koordinát’azható-e?

(3) A geometriai kérdések megfogalmazása véges geometriákra. Például: kúpszeletek definíciója és tulajdonságai.

(4) Kombinatorikus kérdések megfogalmazása. Például: Lefogási feladat. Mi az a minimális elemszám, ami minden halmazból (egyenesről) tartalmaz pontot?

⋆

Konzultáció. Egyetlen érdemlítést érdemlő kérdés: modell, nyelv figalmának tisztázása.

Adott paraméterű projektív síkok létezése és nem létezése

Probléma: Minden r számra létezik-e r paraméterű projektív sík? Milyen r számokra létezik r paraméterű projektív sík?

Megjegyzés: : 2 paraméterű projektív sík létezik: Fano-sík.

3 paraméterű projektív sík létezik-e? Igen a 3 elemű testből felépített

Lemma: Minden q prímhatványra létezik q paraméterű véges test.

Bizonyítás: Vegyünk egy q elemű testet és építsük fel, homogén koordinátákat használva, egy projektív sí;kot. A pontok száma q^{2} + q + 1, azaz paramétere q.

Megjegyzés: Tehát létezik 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 paraméterű projektív sík. Az első problémák ?6?, ?10?.

Tétel: (a) Nem létezik 6 paraméterű projektív sík.

(b) Nem létezik 10 paraméterű projektív sík.

(a)-t később bizonyítjuk. (b) nagyon nehéz, számítógép felhasználásával.

Nem csak a fenti (véges testekből származtatott) síkok léteznek. Ennek ellenére az összes iszmert modell paramétere prímhatvány. Probléma: Igaz-e, hogy pontosan a prímhatványok r-ekre létezik r paraméterű projektív sík?

⋆  ⋆  ⋆

Egy általánosabb kérdés: Milyen (v, k, λ) hármasokra létezik blokkrendszer?

(Által’nosítás, hiszen ”Létezik r paraméterű projektív sík” ⇔ ”Létezik (r^{2} + r + 1, r + 1, 1) paraméterű blokkrendszer”)

Nem mindegyikre: oszthatósági feltételek.

Oszthatósági feltételek nem segítenek a prjektív síkkra vonatkozó kérdés tisztázására.

⋆

Tétel: (Wilson) Létezik v_{0}(k, λ) függvény, amelyre igaz: ha v ≥ v_{0}(k, λ) és az oszthatósági feltételek teljesúlnek, akkor létezik (v, k, λ) blokkrendszer.

Nem segít.

⋆  ⋆  ⋆

Közbülső probléma:

Definíció: Egy (V, B) blokkrendszer szimmetrikus, ha |V | = |B|. ⋄ Milyen paraméterekkel rendelkeznek szimmetrikus blokkrendszerek?