1996. február 22.

Lemma: Legyen (V, B) egy (r^{2} + r + 2, r + 1, 1)-blokkrendszer (r ≥ 2). Ekkor V elemeit pontoknak, a blokkokat egyeneseknek és köztük az illeszkedési relációt az eleme relációnak tekintve egy véges projektív síkhoz jutunk. ♢

A fenti két eredmény összefoglalva. A véges projektív síkok és az (r^{2} + r + 1, r + 1, 1)-blokkrendszerek (r ≥ 2) azonosíthatók.

Az r paraméterű projektív sík más paraméterei is megállapíthatóak. Ez általánosabb környezetben is megtehető.

Definíció: Egy (v, k, λ)-blokkrendszer esetén b a blokkok száma, d_{x} az x ∈ V elemet tartalmazó blokkok száma. ⋄

Lemma: (a) b = \frac{\binom{v}{2}λ}{\binom{k}{2}}.

(b) d_{x} = \frac{(v−1)λ}{k−1}. ♢

Következmény: Egy blokkrendszerben egy ponton áthaladó blokkok száma független a kiválasztott ponttól. ♢

Következmény: (a) Egy r paraméterű projektív sík egyeneseinek száma r^{2} + r + 1.

(b) Egy r paraméterű projektív sík esetén miden ponton pontosan r + 1 egyenes halad át.

⋆  ⋆  ⋆

Mi a helyzet affin síkokkal?

Tétel: (a) Egy affin sík egy véges modelljéből nyerhető halmazrendszer (r^{2}, r, 1)-blokkrendszer, ahol r ≥ 2.

(b) Egy (r^{2}, r, 1)-blokkrendszer alaphalmazának elemeit pontoknak, blokkjait egyeneseknek, az eleme relációt illeszkedésnek tekintva az affin geometria axiómáinak egy modelljéhez jutunk.

Bizonyítás: (a) A vetítés mutatja, hogy két metsző egyenesre illeszkedő pontok száma ugyanaz. A vetítés nem lesz bijekció. A pontok sz’ama valóban négyzete az egy egyenesre illeszkedő pontok s’zamának: Vegyünk két metsző egyenest. A sík pontjai és a két metsző egyenesre eső egy-egy pont által alkotott párok között bijekció létesíthető.

(b) Tudjuk az egyenesek számát és az egy ponton átmenő egyenesek számát. Az axiómákat kell igazolni. Csak a párhuzamossági axióma okoz egy minimális problémát.

Definíció: A fenti r a véges geometria paramétere.

Következmény: (a) Az r paraméterű affin sík egyeneseinek száma r^{2} + r.

(b) Az r paraméterű affin sík minden pontján pontosan r + 1 egyenes halad át. ♢

⋆

Az affin esetben minden hasonlóan kidolgozható volt mint a projektív síkok esetén. Érdemes a projektív és affin síkok közötti általános kapcsolatot kidolgozni.

Definíció: Legyen M = (P, E, I) egy modellje a projektív geometria axiómáinak. Legyen M̃ = (P̃, Ẽ, Ĩ) a következő hármas: Ẽ = E − { e_{0} }, P̃ = P − { P : P Ie_{0} }, Ĩ = az I reláció megszorítása a Ẽ × Ẽ halmazra.

Legyen M = (P, E, I) egy modellje az affin geometria axiómáinak. Legyen M̂ = (P̂, Ê, Î) a következő hármas: Ê = E ˙∪{ e_{0} }, P̂ = P ˙∪{ E|_{∼} }, ahol ∼ a párhuzamosnak vagy azonosnak lenni ekvivalenciareláció az E halmazon. Î = az I reláció E × P -n, e_{0}-ra csak az [e], ”új pontok” illeszkednek, míg egy e ∈ E régi egyenesre csak az [e] új pont illeszkedik. ⋄ Lemma: (a) M a projektív geometria axiómáinak egy modellje esetén M̃ az affin geometria axiómáinak egy modellje.

(b) M az affin geometria axiómainak egy modellje esetén M̂ a projektív geometria axiómáinak egy modellje.

(c) M a projektív geometria axiómáinak egy modellje esetén ˆ M̃ ≃ M.

(d) M az affin geometria axiómainak egy modellje esetén ˜ M̂ ≃ M. ♢