1996. február 15.

Test feletti polinomok gyűrűje. Irreducibilis polinomok.

Példa: _{2}[x]-beli kis fokszámú polinomok felírása és irreducibilis másodfokú polinomok meghatározása.

Emlékeztető: Egész számok és egy prímszám esetén _{p} konstrukciója. A megfelelő ekvivalenciareláció, a megfelelő ekvivalenciaosztályok kompatibilitása a műveletekkel, a kapott struktúra test mivolta.

Analógia: Az egész számok szerepét _{p} veszi át és a prímszám szerepét egy d-ed fokú irreducibilis polinom. A kapott struktúra egy p^{d} elemlű test.

Csak megemlítve:

Tétel: Minden p prímszámra és d természetes sz’amra van d-ed fokú polinom _{p}[x]-ben.

Ez bizonyítja az alaptétel azon részét, hogy minden q prímhatványra van q elemű test.

Példa: _{4} konstrukciója. Az összeadó- és szorzótáblák felírása.

Házi feladat: _{8} és _{9} hasonló vizsgálata.

Vissza a modellekhez

Definíció: P G(2, q): a q elemű testből kiindulva, a valós projektív geometriában megismert módon (homogén koordináták segítségével) felépítjük a projektív geometriát.

AG(2, q): a q elemű testből kiindulva, a a koordináta geometriában megismert módon felépítjük az affin geometriát.

Példa: P G(2, 2) és AG(2, 2) felrajzolása.

Lemma: (a) AG(2, 2) pontjainak száma q^{2}, egyeneseinek száma q^{2} + q.

(b) P G(2, 2) pontjainak száma q^{2} + q + 1, egyeneseinek száma q^{2} + q + 1. ♢

Véges geometriák és kombinatorika kapcsolata

(P, E, I) a projektív geometria egy modellje. E elemeit azonosíthatjuk a ráilleszkedő pontok halmazával. Így egy E halmazrendszerhez jutunk. Az axiomatikus felépítésből eredő nyelvezetet helyettesíthetjük a halmazelmélet, halmazrendszerek nyelvezetével.

Így a projektív geometriák modelljei azonosíthatók egy (P, E) halmazrendszerrel, amelyre teljesülnek az axiómák ”lefordítása”:

(1) Minden x y̸ ∈ P esetén létezik egyetlen H ∈ E, amelyre x ∈ H és y ∈ H.

(2) Létezik x, y, z, t ∈ P elemek, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges H ∈ E esetén |H ∩ { x, y, z, t }| ≤ 2. (P) Minden H_{1} ≠ H_{2} ∈ E esetén |H_{1} ∩ H_{2}| = 1.

Az axiómák halmazelmélet nyelvére történt lefordított változatai a kombinatorika szemszögéből nem természetesek.

⋆

Definíció: (V, B) halmazrendszer blokkrendszer, ha alkalmas v, k, λ természetes számokból álló hármasra (0) |V | = v,

(1) tetszőleges B ∈ B esetén |B| = k,

(2) tetszőleges x ≠ y ∈ V esetén |B ∈ B : x ∈ B és y ∈ B| = λ. ⋄

Megjegyzés: B elemeit blokkoknak nevezzük. A paramétereket hangsúlyozandó (v, k, λ)-blokkrendszerről beszélünk.

Lemma: Egy projektív geometriából nyert (P, E) halmazrendszer blokkrendszer. ♢ A fenti lemma finomítása.

Lemma: Egy projektív geometriából nyert (P, E) halmazrendszer (r^{2} + r + 1, r + 1, 1) blokkrendszer. ♢ Definíció: A fenti lemmában szereplő r szám a projektív geometria paraméterének nevezzük. ⋄ Példa: P G(2, q) projektív geometria paramétere q.