1996. február 8.

A geometria axiomatikus tárgyalása

Alapfogalmak: pont, egyenes, illeszkedés. Axiómák: illeszkedési axiómák + párhuzamossági axióma, rendezési axiómák, egybevágósági axiómák, folytonossági axiómák.

Illeszkedési és párhuzamossági axiómák:

(1) Bármely két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik.

(2) Létezik négy különböző pont, amely általános helyzetű. Következmény: két egyenesnek vagy 0, vagy 1 közös pontja van. Metsző és kitérő egyenesek. Az egyenesek kölcsönos; viszonyának tisztázása a párhuzamossági azxiómában. több lehetőség előtt

állunk. (P) Nincsenek kitérő egyenesek. (E) Minden egyenesre és rá nem eső pontra pontosan egy egyenes van, amely a ponton áthalad és az

egyenessel kitérő. Párhuzamosság definíciója. (B) Minden egyenesre és rá nem eső pontra legalább két olyan egyenes van, amely a ponton áthalad és az

egyenessel kitérő.

A megfelelő geometriák rendre a projektív, affin és Bolyai geometriák.

Számunkra a geometriai axiómák csak az illeszkedési és párhuzamossági axiómák lesznek.

Definíció: (1)+(2)+(P) projektív geometria axiómái.

Definíció: (1)+(2)+(E) az affin geometria axiómái.

Az axiómákból, a logikai szabályok alkalmazásaival tételek nyerhetők.

Tétel: Létezik négy általánso helyzetű egyenes.

Tétel: Az affin geometriában minden egyenesre legalább 2 pont illeszkedik.

Tétel: A projektív geometriában minden egyenesre legalább 3 pont illeszkedik.

Modell módszer

Modell módszer: Az alapfogalmaknak pontos jelentést adunk. Pontok, egyenesek egy speciális halmaz lesz, illeszkedés egy reláció. Az axiómarendszer modellje.

Általában egy axiómarendszer nem határoz meg (izomorfia erejéig) egyértelmű modellt. Így van ez esetünkben is.

Definíció: Egy (P, E, I) hármas projektív geometria, ha a projektív geometria axiómainak modellje.

Definíció: Egy (P, E, I) hármas affin geometria, ha az affin geometria axiómainak modellje.

Példa: (projektív) P: (középiskolában megismert) affin sík pontja és ideális pontok. E: (középiskolában megismert) affin sík egyenesei és egy ideális egyenes. I: projektív geometria előadáson megismert illeszkedés.

Példa: (affin) P: valós számpárok. E: y = mx + b és x = c egyenletek. I: a koordináta geometriában megismert módon.

Példa: (projektív) Fano sík.

Példa: (affin) Négy pontú affin sík.

Példa: (affin) Kilenc pontú affin sík.

Példa: (projektív) P: ^{3} − { (0, 0, 0) }|_{∼}. E: ^{3} − { (0, 0, 0) }|_{∼}. I: homogén kooordinátákról tanultak alapján.

Példa: (affin) P: számpárok. E: y = mx + b és x = c egyenletek. I: a koordináta geometriában megismert módon. Ahol a szám egy tetszőleges test elemei.

Kitérő: testek

Példák testekre (a hallgatóság köréből): , , , (\sqrt{2}), _{2} = GF (2), _{p} = GF (p).

Csak kimondva:

Tétel: (A véges testek alaptétele)

(i) Minden véges test elemszáma prímhatvány.

(ii)^{∗} Minden q prímszámra létezik izomorfia erejéig egyértelmúen meghatározott q elemű test.

Megjegyzés: A 4 vagy 9 elemű test NEM a modulo 4 vagy 9 aritmetika.