Projektív geometria utóvizsga

1997. február 7.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) A projektív síkgeometria egyik axiómája szerint létezik négy olyan pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mondjuk ki azt az állítást, amely ennek az axiómának a duálisa.

2) Milyen feltételt kell kielégítenie négy egyenesnek (a projektív síkon) ahhoz, hogy beszélhessünk a kettősviszonyukról?

Definiáljuk négy (projektív síkbeli) egyenes kettősviszonyát. (A csak az affin geometriában használható definíció nem értékelhető!)

Az egyenesek kettősviszonyára teljesül, hogy (e, g, h, i) = (h, i, e, g). Bizonyítsuk ezt be.

3) Hogyan definiáltuk a kúpszeleti kettősviszonyt?

Milyen állítást alapján volt definíciónk jól definiált?

4) Legyen P = [1, 0, 3], Q = [2, 3, 0], R = [1, −1, −2] és e = [0, 1, 2]^{∗}. Legyen M a P Q egyenes és e metszéspontja. Írjuk fel az MR egyenes homogén koordinátáit.

5) Definiáljuk mikor mondjuk azt, hogy az { A, B } pontpár harmonikusan választja el a { C, D } pontpárt. Indokoljuk, hogy definíciónk jól értelmezett.

Mit jelent az, hogy ez a fogalom projektív invariáns? Melyik tétel alapján igaz ez?

Név: Kód:

6) Bizonyítsuk be, hogy egy sík tetszőleges önmagára történő projektív transzformációjának van fixpontja.

7) Írjuk le azokat a módokat, ahogy az előadáson definiáltuk a projektív sík kúpszeleteit.

8) Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni (a hiperbolikus geometria projektív modelljét felhasználva), hogy a hiperbolikus síkon egy egyenlő oldalú háromszög szögei azonos nagyságúak.