Projektív geometria MINTAvizsga

1996. ősz

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) Az affin síkot egészítsük ki ideális elemekkel, így egy projektív síkhoz jutunk. (Ennek leírását nem kell a dolgozatban ismertetni.) Az affin geometriai ismereteinket felhasználva igazoljuk, hogy két különböző ponton pontosan egy egyenes halad át.

2) Milyen feltételt kell kielégítenie négy egyenesnek (a projektív síkon) ahhoz, hogy beszélhessünk a kettősviszonyukról? Hogyan definiáltuk egyenesek kettőviszonyát a projektív síkgeometriában? A csak az affin geometriában használható definíció nem értékelhető!

3) Deifináljuk mikor mondjuk azt, hogy az { A, B } pontpár elválasztja { C, D } pontpárt. Indokoljuk, hogy definíciónk jól értelmezett. Mit jelent az, hogy ez a fogalom projektív invariáns?

4) Legyen π az alábbi polaritás a projektív síkon: π : [\underline{x}] ↦ [( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ −2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & −1 \end{matrix} ) \underline{x}]^{∗}. Írjuk fel az e = [1, 0, 0]^{∗}

egyenes pólusának homogén koordinátáit.

5) Definiáljuk a Pascal-hatszög fogalmát. Hogyan fogalmazhatjuk meg a Desargue-tételt Pascal-hatszögek segítségével (állításukat csak mondjuk ki).

Név: Kód:

6) Bizonyítsuk be, hogy egy sík tetszőleges önmagára történő projektív transzformációjának van fixpontja.

7) Definiáljuk, hogy egy egyenes önmagára való projektív leképezése mikor involúció. Mit mondhatunk egy involúció fixpontjainak számáról? (Állításunkat csupán mondjuk ki.) Adjunk példát involúcióra, amelynek nincs fixpontja.

8) Írjuk le a hiperbolikus geometria projektív modelljében, hogy az e és f egyenesek merőlegesek. Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni, hogy a hiperbolikus síkon az e egyenes tetszőleges pontjában egyetlen egy merőleges egyenes állítható e-re.