Projektív geometria vizsga

1996. december 20.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van kiosztva.

1) A projektív síkgeometria egyik axiómája szerint létezik négy olyan pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mondjuk ki azt az állítást, amely ennek az axiómának a duálisa.

2) A kettősviszony tulajdonságai között láttuk, hogy (A, B, C, D) = \frac{1}{(A,B,D,C)} és (C, D, A, B) = (A, B, C, D).

(a) Igazoljuk a fent felírt, második tulajdonságot. (A csak affin síkon érvényes bizonyítás nem értékelhető.)

(b) Igazoljuk a fenti két tulajdonságra történő hivatkozásokkal, hogy (A, B, C, D) = \frac{1}{(B,A,C,D)}.

3) Definiáljuk a korreláció, polaritás fogalmakat. Mikor nevezünk egy pontot egy π polaritás fixpontjának?

Írjuk fel a polaritások analitikus alakját. Egy π polaritás analitikus alakjának felhasználásával írjuk fel azt az egyenletet, amely fixpontjainak halmazát definiálja.

4) Legyen P = [2, 3, 4], Q = [1, 2, −2], R = [0, 2, 1] és S = [−1, 3, −2]. Írjuk fel a P Q és RS egyenes M metszéspontjának homogén koordinátáit.

5) Definiáljuk a Pascal-hatszög fogalmát. Hogyan fogalmazhatjuk meg a Papposz—Pascal-tételt Pascalhatszögek segítségével (állításukat csak mondjuk ki).

Név: Kód:

6) Bizonyítsuk be, hogy egy egyenes önmagára történő nem identitás involúciójának 0 vagy 2 fixpontja van. Adjunk egy-egy példát, amelyek azt mutatják, hogy 0, illetve 2 fixpont lehetséges.

7) Írjuk fel az előadáson elhangzott azon definíciókat, amelyek definiálják, hogy két projektív sík közötti bijekciót mikor nevezünk projektív leképezésnek.

Mit mondhatunk egy sík önmagára történő projektív leképézésének fixpontjainak számáról? (Állításunkat csupán mondjuk ki. Csak az erre vonatkozó előadásbeli állítást idézzük.)

8) Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni, hogy a hiperbolikus síkon létezik olyan háromszög, amely minden szöge 45^{∘}.