Projektív geometria vizsga

1997. január 23.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) Az affin síkot egészítsük ki ideális elemekkel, így egy projektív síkhoz jutunk. (Ennek leírását nem kell a dolgozatban ismertetni.) Az affin geometriai ismereteinket felhasználva igazoljuk, hogy két különböző egyenes esetén pontosan egy olyan pont van, amely mindkettőre illeszkedik.

2) Milyen feltételt kell kielégítenie négy egyenesnek (a projektív síkon) ahhoz, hogy beszélhessünk a kettősviszonyukról? Hogyan definiáltuk egyenesek kettőviszonyát a projektív síkgeometriában? Igazoljuk, hogy (amennyiben az alábbi kettősviszonyok értelmezettek) érvényes a következő azonosság (e, f, g, h)(e, f, h, i)(e, f, i, g) = 1.

3) Definiáljuk, hogy egy egyenes önmagára való projektív leképezése mikor involúció. Mit mondhatunk egy involúció fixpontjainak számáról? (Állításunkat csupán mondjuk ki.) Adjunk példát involúcióra, amelynek nincs fixpontja.

4) Legyen π az alábbi polaritás a projektív síkon: π : [\underline{x}] ↦ [( \begin{matrix}3 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) \underline{x}]^{∗}. Írjuk fel az e = [0, 0, 1]^{∗} egyenes pólusának homogén koordinátáit.

5) Definiáljuk a Pascal-hatszög fogalmát. Hogyan fogalmazhatjuk meg a Papposz—Pascal-tételt Pascalhatszögek segítségével? (Állításukat csak mondjuk ki.)

Név: Kód:

6) Legyen A, B, C és D négy általános helyzetű pont a Σ síkon. Legyen A′, B′, C′ és D′ négy általános helyzetű pont a Γ síkon. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan α : Σ → Γ leképezés, amely

(i) vetítések szorzata, (ii) A ↦ A′, B ↦ B′, C ↦ C′ és D ↦ D′.

7) írjuk le azokat a módokat, ahogy az előadáson definiáltuk a projektív sík kúpszeleteit.

8) Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni (a hiperbolikus geometria projektív modelljét felhasználva), hogy a hiperbolikus síkon egy két egyenlő szöggel rendelkező háromszögben az azonos nagyságú szögekkel szemközti oldalak hossza egyenlő.