Projektív geometria vizsga

1996. január 15.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) Az affin síkot egészítsük ki ideális elemekkel, így egy projektív síkhoz jutunk. (Ennek leírását nem kell a dolgozatban ismertetni.) Az affin geometriai ismereteinket felhasználva igazoljuk, hogy két különböző ponton pontosan egy egyenes halad át.

2) Milyen feltételt kell kielégítenie négy egyenesnek (a projektív síkon) ahhoz, hogy beszélhessünk a kettősviszonyukról? Hogyan definiáltuk egyenesek kettőviszonyát a projektív síkgeometriában? Igazoljuk, hogy érvényes a következő azonosság (e, f, g, h) = (h, g, f, e).

3) Definiáljuk mikor mondjuk azt, hogy az { A, B } pontpár harmonikusan választja el a { C, D } pontpárt. Indokoljuk, hogy definíciónk jól értelmezett. Mit jelent az, hogy ez a fogalom projektív invariáns?

4) Legyen π az alábbi polaritás a projektív síkon: π : [\underline{x}] ↦ [( \begin{matrix}2 & −1 & 3 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix} ) \underline{x}]^{∗}. Írjuk fel az e = [0, 2, 0]^{∗}

egyenes pólusának homogén koordinátáit.

5) írjuk fel az α : Σ → Γ, két projektív sík közötti projektív leképézés analitikus alakját.

Mikor lesz ez a leképezés polaritás? Kétféle választ adjunk: egy geometriait és egyet, amely az analitikus alakot használja.

Név: Kód:

6) Legyen α : e → f két különböző projektív egyenes közötti projektív leképezés. Az e egyenes A és B pontja esetén definiáljuk a T_{α}(A, B) pontot. Bizonyítsuk be, hogy az így nyerhető pontok egy egyenesre esnek.

7) írjuk le azokat a módokat, ahogy az előadáson definiáltuk a projektív sík kúpszeleteit.

8) Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni, hogy a hiperbolikus síkon az e és f metsző egyeneseknek létezik szögfelezője.