Projektív geometria vizsga

1996. január 7.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) Mikor nevezünk négy pontot általános helyzetűnek egy Σ síkon? Definíciónkat dualizáljuk. Mondjuk ki azt az illeszkedési axiómát, amely általános helyzetű pontnégyesekkel kapcsolatos.

2) Legyen e, f, g és h négy különböző, egy ponton átmenő egyenes az affin síkon. Kettősviszonyukat fejezzük ki az általuk bezárt szögek függvényeként. Állításunkat igazoljuk.

3) Deifináljuk mikor mondjuk azt, hogy az { A, B } pontpár elválasztja { C, D } pontpárt. Indokoljuk, hogy definíciónk jól értelmezett. Mit jelent az, hogy ez a fogalom projektív invariáns?

4) Legyen π az alábbi polaritás a projektív síkon: π : [\underline{x}] ↦ [( \begin{matrix}3 & −2 & 1 \\ −2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −2 \end{matrix} ) \underline{x}]^{∗}. Írjuk fel az e = [0, 1, 0]^{∗}

egyenes pólusának homogén koordinátáit.

5) Definiáljuk a teljes négyszög (vagy teljes négyoldal) fogalmát. Mondjuk ki a teljes négyszög (vagy teljes négyoldal) tételét.

Név: Kód:

6) Legyen A, B, C és D négy általános helyzetű pont a Σ síkon. Legyen A′, B′, C′ és D′ négy általános helyzetű pont a Γ síkon. Bizonyítsük be, hogy létezik olyan α : Σ → Γ leképezés, amely

(i) vetítések szorzata, (ii) A ↦ A′, B ↦ B′, C ↦ C′ és D ↦ D′.

7) Egy O csúcspontú K kúpot messünk el egy Σ síkkal (O ∉ Σ). Mit nevezünk Dandelin-gömböknek? Mondjuk ki az előadáson elhangzott Dandelin-gömbökkel kapcsolatos állítást.

8) Írjuk le a hiperbolikus geometria projektív modelljében, hogy az e és f egyenesek merőlegesek. Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni, hogy a hiperbolikus síkon az e és f különböző egyenesekhez legfeljebb egy közös merőleges (e-re és f-re is merőleges egyenes) állítható.