Projektív geometria vizsga

1996. december 23.

Név: Kód:

A kérdések kidolgozására 90 perc áll rendelkezésre. Mindenki törekedjen a tömör, lényegre törő érvelésre. A kérdések kidolgozására a feladatsorban szereplő hely elegendő, a mellékelt lap csupán piszkozat céljára van.

1) Definiáljuk mit értünk a projektív térben a Σ sík vetítésén a Γ síkra az O pontból. Milyen feltételeknek kell teljesülni a Σ, Γ és O térelemekre?

2) Milyen feltételt kell kielégítenie négy egyenesnek (a projektív síkon) ahhoz, hogy beszélhessünk a kettősviszonyukról?

Az egyenesek kettősviszonyára teljesül, hogy (e, g, h, i) = (h, i, e, g). Bizonyítsuk ezt be.

3) Definiáljuk a teljes négyszög (vagy teljes négyoldal) fogalmát. Mondjuk ki a teljes négyszög (vagy teljes négyoldal) tételét.

4) Legyen π az alábbi polaritás a projektív síkon: π : [\underline{x}] ↦ [( \begin{matrix}3 & 1 & −2 \\ 1 & 0 & 2 \\ −2 & 2 & −1 \end{matrix} ) \underline{x}]^{∗}. Írjuk fel az e = [1, 0, 0]^{∗}

egyenes pólusának homogén koordinátáit.

5) Az előadáson definiáltuk T_{α}(A, B)-t. Írjuk le ezt a definíciót. (Definíciónk tartalmazza azt is, hogy α, A és B mit jelöl.) Mondjuk ki a T_{α}(A, B) jelöléssel kapcsolatos tételt is.

Név: Kód:

6) Legyen κ_{A} : [x] ↦ [Ax] és κ_{B} : [x] ↦ [Bx] két leképezés két projektív sík között (A és B két 3 × 3 méretű, valós, nem elfajuló mátrix.) Mondjuk ki és bizonyítsuk be, hogy mikor lesz a két leképezés azonos.

7) Adjuk meg az előadáson elhangzott (projektív síkbeli) kúpszelet definícióit.

8) Írjuk fel milyen projektív geometriai állítást kell annak bizonyítani, aki be akarja látni, hogy a hiperbolikus síkon ha egy ABC háromszög AB és AC oldalának hossza azonos, akkor a BC oldalon fekvő két szög is egyenlő nagyságú.