Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XII. 16. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Közrefogás ↔ ?

⋆

e és f merőlegessége ↔ (E_{1}E_{2}F_{1}F_{2})_{K} = −1 Megjegyzés: Ez jól definiált. Lemma: A következők ekvivalensek:

(i) e ⊥ f, (ii) e pólusa ∈ f, (iii) f pólusa ∈ e.

⋆

Egybevágóság ↔ K-t meghagyó projektív leképézések Megjegyzés: Egybevágóság a hiperbolikus pontok egy bijekciója önmagára, hiperbolikus egyeneseket megtartja. Definíció: Legyen O egy e egyenesen kívüli pont. π_{e,O}: e ponjai és O fixek. Q ≠ O és Q ∉ e esetén Q képe az f = OQ egyenes azon Q′ pontja, amely Q-val harmonikusan választja el O-t és e ∩ f-t. Lemma: π_{O,e} projektív leképézés. Lemma: Legyen e egy K-t metsző egyenes és O az e egyenes pólusa. Ekkor π_{e,O} egy hiperbolikus egybevágóság. Lemma: π_{e,O} mint hiperbolikus egybevágóság

(i) π_{e,O} egy involúció, (ii) e pontjai fixek, (iii) e-re merőleges egyenesek fixek. Definíció: Az e egyenesre történő tükrözés. Lemma: Minden egybevágóság előáll mint tükrözések szorzata. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk. Definíció: Zászló. Lemma: Két zászlóhoz pontosan egy egybevágóság van, amely az egyiket a másikba viszi. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

⋆

Definíció: Távolság. Lemma: A ta;volsáf additivitása három egy egyenesre eső pont esetén. Lemma: Háromszögegyenlőtlenség. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

⋆

Definíció: Szög. Lemma: Szögek additivitása.

Bizonyítás: Nem bizonyítjuk. Lemma: Minden háromszög szögeinek összege nem éri el π-t. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk.

⋆  ⋆  ⋆

A fenti modell nem az egyetlen.

Poincaré-körmodell és Poincaré-felső félsík modell, illetve kapcsolatuk a projektív modellel.