Projektív geometria előadás, Hajnal Péter XII. 9. (ami történt, modulo a memóriám hibája)

Megjegyzés: Az előző óra végén kimaradt: Ha körre tudjuk a bizonyított állítá;st, akkor miért vagyunk készen. Azaz egyenesek kettősviszonya öröklődik a vetítéseknél. Ezt belátjuk

⋆

Tétel: Pascal-tétel.

Bizonyítás: Kúpszeleti kettősviszony segítségével.

Megjegyzés: Elfajuló esetek vizsgálhatók, de mi ezt nem tesszük.

Tétel: Brianchon-tétel

Bizonyítás: I. Pascal-tétel dualizálása.

II. A körre elég belátni. Ez elemi úton (a térbe való kilépéssel) megtehető (lásd Hajós-könyv).

⋆  ⋆  ⋆

A tisztán projektív geometriai rész vége. A maradék idő a hiperbolikus sík egy modelljének (Kleinmodell, projektív modell) bevezetése a projektív sík segítségével.

Hiperbolikus geometria

Illeszkedési axiómák. A párhuzamosság kérdése. Ennek lehetséges feloldásai: Euklideszi geometria, projektív geomtria, Bolyai—Lobacsevszkij-geometria.

Axiomatikus módszer: lásd Appendix.

Modell-módszer: példák a félevből (affin geometria → projektív geometria, lineáris algebra → projektív geometria), példák korábbról (lineáris algebra → Euklideszi-geometria, Euklideszi-geometria → inverzív geometria).

A projektív modell leírása

Kiindulás: egy Σ projektív sík és egy K kúpszelet.

Pontok ↔ K belső pontjai Egyenesek ↔ K-t metsző egyenesek Illeszkedés ↔ mint projektív geometriában

A párhuzamossági tulajdonság ellenőrzése